- 25 Câu Trắc Nghiệm Định Nghĩa VecTơ Có Đáp Án Và Lời Giải
- 45 Câu Trắc Nghiệm Tổng Và Hiệu Hai Vectơ Có Đáp Án Và Lời Giải
- 35 Câu Trắc Nghiệm Tích Của Một Vectơ Với Một Số Có Đáp Án
- 35 Câu Trắc Nghiệm Hệ Trục Tọa Độ Có Đáp Án
35 câu trắc nghiệm tích của một vectơ với một số có đáp án và lời giải gồm các dạng toán: tính độ dài vectơ; phân tích vectơ; chứng minh đẳng thức vectơ; xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ. Các bạn xem ở dưới.
Bài 3: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 1. Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Tính $\left| {2\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right|.$
A. $a.$ B. $\left( {1 + \sqrt 2 } \right)a.$ C. $a\sqrt 5 .$ D. $2a\sqrt 2 .$
Câu 2. Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\left| {3\,\overrightarrow {OA} + 4\,\overrightarrow {OB} } \right| = 5a.$ B. $\left| {2\,\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\,\overrightarrow {OB} } \right| = 5a.$
C. $\left| {7\,\overrightarrow {OA} – 2\,\overrightarrow {OB} } \right| = 5a.$ D. $\left| {11\,\overrightarrow {OA} } \right| – \left| {6\,\overrightarrow {OB} } \right| = 5a.$
Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\,\,\,I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .$ B. $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .$
C. $2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .$ D. $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .$
Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\,\,\,I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).$ B. $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right).$
C. $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$ D. $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$
Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\,\,\,G$ là trọng tâm của tam giác$ABC.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).$ B. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).$
C. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{2}\overrightarrow {AC} .$ D. $\overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} .$
Câu 6. Cho tứ giác $ABCD.$ Trên cạnh $AB,\,\,CD$ lấy lần lượt các điểm $M,\,\,N$ sao cho $3\,\overrightarrow {AM} = 2\,\overrightarrow {AB} $ và $3\,\overrightarrow {DN} = 2\,\overrightarrow {DC} .$ Tính vectơ $\overrightarrow {MN} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} .$
A. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$ B. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} .$
C. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} .$ D. $\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$
Câu 7. Cho hình thang $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DC} .$ B. $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {BN} .$
C. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right).$ D. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right).$
Câu 8. Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .$ B. $\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} – \overrightarrow {BC} .$
C. $\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} .$ D. $\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} .$
Câu 9. Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $3\,AM = AB$ và $N$ là trung điểm của $AC.$ Tính $\overrightarrow {MN} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$
A. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .$ B. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .$
C. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$ D. $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .$
Câu 10. Cho tam giác $ABC.$ Hai điểm $M,\,\,N$ chia cạnh $BC$ theo ba phần bằng nhau $BM = MN = NC.$ Tính $\overrightarrow {AM} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$
A. $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$ B. $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$
C. $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$ D. $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$
Câu 11. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính $\overrightarrow {AB} $ theo $\overrightarrow {AM} $ và $\overrightarrow {BC} .$
A. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ B. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} .$
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} .$
Câu 12. Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Khi đó
A. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .$ B. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .$
C. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .$ D. $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .$
Câu 13. Cho hình bình hành $ABCD.$ Tính $\overrightarrow {AB} $ theo $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {BD} .$
A. $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .$ B. $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .$
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ D. $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} .$
Câu 14. Cho tam giác $ABC$ và đặt $\vec a = \overrightarrow {BC} ,\,\,\vec b = \overrightarrow {AC} .$ Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. $2\vec a + \vec b,\,\,\vec a + 2\vec b.$ B. $2\vec a – \vec b,\,\,\vec a – 2\vec b.$ C. $5\vec a + \vec b,\,\, – \,10\,\vec a – 2\vec b.$ D. $\vec a + \vec b,\,\,\vec a – \vec b.$
Câu 15. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm $C,\,\,M,\,\,B$ thẳng hàng. B. $AM$ là phân giác trong của góc $\widehat {BAC}.$
C. $A,\,\,M$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thẳng hàng.
D. $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 .$
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm và $I$ là trung điểm của $BC.$ Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {GA} = 2\,\overrightarrow {GI} .$ B. $\overrightarrow {IG} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} .$ C. $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\,\overrightarrow {GI} .$ D. $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} .$
Câu 17. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm và $M$ là trung điểm $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\overrightarrow {GA} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} .$ B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} .$ C. $\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} .$ D. $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GM} .$
Câu 18. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .$ B. $\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .$
C. $\overrightarrow {MB} = – \,\overrightarrow {MC} .$ D. $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {BC} }}{2}.$
Câu 19. Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC.$ Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} .$ B. $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {NC} .$ C. $\overrightarrow {BC} = – \,2\overrightarrow {MN} .$ D. $\overrightarrow {CN} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$
Câu 20. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AG} .$ B. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BG} .$
C. $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CG} .$ D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 .$
Câu 21. Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {CI} = \frac{{\overrightarrow {CA} – 2\,\overrightarrow {CB} }}{3}.$ B. $\overrightarrow {CI} = \frac{{\overrightarrow {CA} + 2\,\overrightarrow {CB} }}{3}.$
C. $\overrightarrow {CI} = – \,\overrightarrow {CA} + 2\,\overrightarrow {CB} .$ D. $\overrightarrow {CI} = \frac{{\overrightarrow {CA} + 2\,\overrightarrow {CB} }}{{ – \,3}}.$
Câu 22. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BC} .$ B. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} .$
C. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} .$ D. $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} .$
Câu 23. Cho hình vuông $ABCD$ có tâm là $O.$ Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} .$ B. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DO} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .$
C. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .$ D. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = 2\,\overrightarrow {AB} .$
Câu 24. Cho hình bình hành $ABCD.$ Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} .$ B. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .$
C. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = 2\,\overrightarrow {CD} .$ D. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} .$
Câu 25. Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$ là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .$ B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .$
C. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\,\overrightarrow {BM} .$ D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} .$
Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 26. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CA} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. $M$ trùng $A.$ B. $M$ trùng $B.$
C. $M$ trùng $C.$ D. $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
Câu 27. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đặt $\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a ,{\rm{ }}\overrightarrow {GB} = \overrightarrow b $. Hãy tìm $m,{\rm{ }}n$ để có $\overrightarrow {BC} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b .$
A. $m = 1,n = 2.$ B. $m = – 1,n = – 2.$ C. $m = 2,n = 1.$ D. $m = – 2,n = – 1.$
Câu 28. Cho ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng và điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow {MA} = x\,\overrightarrow {MB} + y\,\overrightarrow {MC} .$
Tính giá trị biểu thức $P = x + y.$
A. $P = 0.$ B. $P = 2.$ C. $P = – \,2.$ D. $P = 3.$
Câu 29. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và số thực $k > 0.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = k$ là
A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng.
C. một đường tròn. D. một điểm.
Câu 30. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ là
A. trung trực của đoạn thẳng $AB.$ B. trung trực của đoạn thẳng $AD.$
C. đường tròn tâm $I,$ bán kính $\frac{{AC}}{2}.$ D. đường tròn tâm $I,$ bán kính $\frac{{AB + BC}}{2}.$
Câu 31. Cho hai điểm $A,\,\,B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$ là
A. đường tròn tâm $I,$ đường kính $\frac{{AB}}{2}.$
B. đường tròn đường kính $AB.$
C. đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
D. đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
Câu 32. Cho hai điểm $A,\,\,B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$ là
A. đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
B. đường tròn đường kính $AB.$
C. đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
D. đường tròn tâm $A,$ bán kính $AB.$
Câu 33. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a,$ trọng tâm $G.$ Ttập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right|$ là
A. đường trung trực của đoạn BC. B. đường tròn đường kính BC.
C. đường tròn tâm G, bán kính $\frac{a}{3}$. D. đường trung trực đoạn thẳng AG.
Câu 34. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
A. $R = \frac{a}{3}.$ B. $R = \frac{a}{9}.$ C. $R = \frac{a}{2}.$ D. $R = \frac{a}{6}.$
Câu 35. Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3$?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1.
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A$$ \Rightarrow OC = 2a.$
Tam giác $OBC$ vuông tại $O,$ có $BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 5 .$
Ta có $2\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BC} ,$ suy ra
$\left| {2\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 5 .$
Chọn C.
Câu 2. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
A đúng, gọi $C$ nằm trên tia đối của tia $AO$ sao cho
$OC = 3\,OA$$ \Rightarrow 3\,\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} .$
Và $D$ nằm trên tia đối của tia $BO$ sao cho
$OD = 4\,OB$$ \Rightarrow 4\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} .$
Dựng hình chữ nhật $OCED$ suy ra $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} $ (quy tắc hình bình hành).
Ta có $\left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = 5a.$
B đúng, vì $\left| {2\,\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\,\overrightarrow {OB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a.$
C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. Chọn C.
D đúng, vì $\left| {11\,\overrightarrow {OA} } \right| – \left| {6\,\overrightarrow {OB} } \right| = 11\left| {\overrightarrow {OA} } \right| – 6\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 11a – 6a = 5a.$
Câu 3.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} .$
Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 .$
Suy ra $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IA} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IA} } \right) = \overrightarrow 0 .$
Chọn B.
Câu 4.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\,\overrightarrow {AM} .$ $\left( 1 \right)$
Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên
$2\,\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} .$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 4\,\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).$
Chọn A.
Câu 5.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
Và $M$ là trung điểm của $BC$
Do đó $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).$
Chọn B.
Câu 6.
Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} $ và $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} .$
Suy ra $3\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + 2\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} } \right)$
$ = \left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {BC} + \left( {\overrightarrow {DN} + 2\overrightarrow {CN} } \right).$
Theo bài ra, ta có $\overrightarrow {MA} + 2\,\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {DN} + 2\,\overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 .$
Vậy $3\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + 2\,\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} .$ Chọn C.
Câu 7.
Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,BC$
$ \Rightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \end{array} \right..$
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
$ \bullet $ A đúng, vì $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {MN} .$
$ \bullet $ B đúng, vì $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {BN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) – \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MN} .$
$ \bullet $ C đúng, vì $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} $ và $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} .$
Suy ra $2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} $
$ \bullet $ D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D.
Câu 8. Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ $\overrightarrow {DM} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {DC} $ và $\overrightarrow {BC} .$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} .$
Và $M$ là trung điểm $AB$ nên $2\,\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \Leftrightarrow 2\,\overrightarrow {DM} = 2\,\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} .$
$ \Leftrightarrow 2\,\overrightarrow {DM} = – \,2\,\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} $ suy ra $\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} .$ Chọn C.
Câu 9. Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $2\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} .$
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = 2\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} $$ = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .$
Suy ra $\overrightarrow {MN} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$ Chọn B.
Câu 10. Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$
Chọn A.
Câu 11. Ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AM} – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ Chọn C.
Câu 12. Ta có $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $. Chọn C.
Câu 13. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 .$
Ta có
Chọn A.
Câu 14. Dễ thấy $ – 10\,\overrightarrow a – 2\overrightarrow b = – \,2\,\left( {5\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$
hai vectơ $5\vec a + \vec b,\,\, – 10\vec a – 2\vec b$ cùng phương. Chọn C.
Câu 15. Gọi $I,\,\,G$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trọng tâm tam giác $ABC.$
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\,\overrightarrow {MI} .$
Theo bài ra, ta có $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ suy ra $\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MI} $$ \Rightarrow $$A,\,\,M,\,\,I$ thẳng hàng
Mặt khác $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
Do đó, ba điểm $A,\,\,M,\,\,G$ thẳng hàng. Chọn C.
Câu 16. Vì $I$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} \\\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \underbrace {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} }_{\overrightarrow 0 } + 2\,\overrightarrow {GI} = 2\,\overrightarrow {GI} .$ Chọn C.
Câu 17. Vì $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \underbrace {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} }_{\overrightarrow 0 } + 2\,\overrightarrow {GM} = 2\,\overrightarrow {GM} .$ Chọn D.
Câu 18. Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = – \,\overrightarrow {MC} .$ Chọn C.
Câu 19. Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$
Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
Mà $\overrightarrow {BC} ,\;\,\overrightarrow {MN} $ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow {BC} = 2\,\overrightarrow {MN} .$ Chọn C.
Câu 20. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$ $\left( 1 \right)$
Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {BG} = 3\,\overrightarrow {BG} .$ Chọn B.
Câu 21. Từ giả thiết $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Rightarrow B$ là trung điểm của $IA$$ \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AB} .$
Lại có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} .$
$ = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + 3\overrightarrow {AB} $$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + 3\left( {\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} } \right) = – \,2\,\overrightarrow {CA} + 4\overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} = – \,\overrightarrow {CA} + 2\,\overrightarrow {CB} .$
Chọn C.
Câu 22. Ta có $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} – 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} .$
Chọn C.
Câu 23. Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = – \,\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} $ (vì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $). Chọn C.
Câu 24. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} + \underbrace {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} }_{\overrightarrow 0 } = 2\overrightarrow {BC} .$ Chọn A.
Câu 25. Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BC} $
Suy ra điều trên không thể xảy ra vì $\overrightarrow {DA} = – \,\overrightarrow {BC} .$ Chọn D.
Câu 26. Ta có $2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CA} {\rm{ }} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MA} .$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = – \,\overrightarrow {MC} {\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\,$ $\left( * \right)$
Đẳng thức $\left( * \right)$ suy ra $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Chọn D.
Câu 27. Ta có $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {BG} – \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) = – \overrightarrow {GA} – 2\overrightarrow {GB} {\rm{ }}\left( {{\rm{do }}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 0} \right).$
Chọn B.
Câu 28. Do $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ không cùng phương nên tồn tại các số thực $x,\,y$ sao cho
$\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} ,\,\,\forall M$$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = x\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right) + y\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} } \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {1 – x – y} \right)\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {MB} + y\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \left( {x + y – 1} \right)\overrightarrow {MA} = x\overrightarrow {MB} + y\overrightarrow {MC} .$
Theo bài ra, ta có $\overrightarrow {MA} = x\overrightarrow {MB} + y\overrightarrow {MC} $ suy ra $x + y – 1 = 1 \Leftrightarrow x + y = 2.$ Chọn B.
Câu 29. Gọi $I$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD,$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} \\2\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \end{array} \right.,\,\,\forall M.$
Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = k \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MI} } \right| = k \Leftrightarrow 4\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = k \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \frac{k}{4}.$ $\left( * \right)$
Vì $I$ là điểm cố định nên tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left( * \right)$ là đường
tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{k}{4}.$ Chọn C.
Câu 30. Gọi $E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CD.$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {ME} \\\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MF} \end{array} \right.,\,\,\forall M.$
Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow {ME} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MF} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {\overrightarrow {MF} } \right|.$ $\left( * \right)$
Vì $E,\,\,F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $\left( * \right)$suy ra tập hợp các điểm $M$ là trung trực của đoạn thẳng $EF$ hay chính là trung trực của đoạn thẳng $AD.$ Chọn B.
Câu 31. Vì $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\,\overrightarrow {MI} .$
Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\,\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|{\rm{ }} \Leftrightarrow MI = \frac{{AB}}{2}.$ $\,\left( * \right)$
Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left( * \right)$ là đường tròn tâm $I,$ bán kính
$R = \frac{{AB}}{2}.$ Chọn A.
Câu 32. Chọn điểm $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $EB = 2EA$$ \Rightarrow 2\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 .$
Chọn điểm $F$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $FA = 2FB$$ \Rightarrow 2\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0 .$
Ta có
$\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {FA} } \right|$
$ \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME} + \underbrace {2\,\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF} + \underbrace {2\,\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} }_{\overrightarrow 0 }} \right| \Leftrightarrow \left| {3\,\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {3\,\overrightarrow {MF} } \right| \Leftrightarrow ME = MF.$ $\,\left( * \right)$
Vì $E,\,\,F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $\left( * \right)$ suy ra tập hợp các điểm $M$ là trung trực của đoạn thẳng $EF.$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I$ cũng là trung điểm của $EF.$
Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$ Chọn A.
Câu 33. Gọi $I,\,\,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$ Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \\\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MJ} \end{array} \right..$
Theo bài ra, ta có $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\,\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {2\,\overrightarrow {MJ} } \right| \Leftrightarrow MI = MJ.$
Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IJ,$ cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$ Chọn A.
Câu 34. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
Ta có $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).$
Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC} – \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .$
Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$$ \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 3\,\overrightarrow {IG} .$
Khi đó $9\,\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IC} – \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 9\,\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 9\,\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {CA} .$ $\left( * \right)$
Do đó
$\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right| \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \Leftrightarrow 9MI = AB.$
Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $\left( * \right)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{{AB}}{9} = \frac{a}{9}.$ Chọn B.
Câu 35. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên G cố định duy nhất và
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $.
Ta có $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} – 3\overrightarrow {GM} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,3\,\left| {\overrightarrow {GM} } \right| = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,GM = 1$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính bằng $1.$
Chọn D.
