BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG VÀ HIỆU HAI VEC TƠ CÓ ĐÁP ÁN
I. KIẾN THỨC
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ a→ và b→. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB→=a→ và BC→=b→. Vectơ AC→ được gọi là tổng của hai vectơ a→ và b→. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a→ và b→ là a→+b→. Vậy AC→=a→+b→.
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB→+AD→=AC→.
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ a→, b→, c→ tùy ý ta có a→+b→=b→+a→ (tính chất giao hoán); a→+b→+c→=a→+b→+c→ (tính chất kết hợp); a→+0→=0→+a→=a→ (tính chất của vectơ – không).
|
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
Cho vectơ a→. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a→ được gọi là vectơ đối của vectơ a→, kí hiệu là - a→.
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB→ là BA→, nghĩa là - AB→=BA→.
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0→ là vectơ 0→.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ a→ và b→. Ta gọi hiệu của hai vectơ a→ và b→ là vectơ a→+- b→, kí hiệu a→-b→. Như vậy a→-b→=a→+- b→.
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB→=OB→-OA→.
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
AB→+BC→=AC→ (quy tắc ba điểm);
AB→-AC→=CB→ (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.
5. Áp dụng
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA→+IB→=0→.
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA→+GB→+GC→=0→.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Cho ba điểm A,B,C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB→+AC→=BC→. B. MP→+NM→=NP→. C. CA→+BA→=CB→. D. AA→+BB→=AB→.
Câu 2. Cho a→ và b→ là các vectơ khác 0→ với a→ là vectơ đối của b→. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vectơ a→, b→ cùng phương. B. Hai vectơ a→, b→ ngược hướng.
C. Hai vectơ a→, b→ cùng độ dài. D. Hai vectơ a→, b→ chung điểm đầu.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. CA→-BA→=BC→. B. AB→+AC→=BC→.
C. AB→+CA→=CB→. D. AB→-BC→=CA→.
Câu 4. Cho AB→=-CD→. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB→ và CD→ cùng hướng. B. AB→ và CD→ cùng độ dài.
C. ABCD là hình bình hành. D. AB→+DC→=0→.
Câu 5. Tính tổng MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→.
A. MR→. B. MN→. C. PR→. D. MP→.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
A. IA=IB. B. IA→=IB→. C. IA→=-IB→. D. AI→=BI→.
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB?
A. IA=IB. B. IA→+IB→=0→. C. IA→-IB→=0→. D. IA→=IB→.
Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AB→=AC→. B. HC→=-HB→. C. AB→=AC→. D. BC→=2HC→.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB→=BC→. B. AB→=CD→. C. AC→=BD→. D. AD→=CB→.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA→+MB→=0→.
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA→+GB→+GC→=0→.
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB→+CD→=CA→.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì AB→+BC→=AC→.
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA→-OB→=CD→. B. OB→-OC→=OD→-OA→.
C. AB→-AD→=DB→. D. BC→-BA→=DC→-DA→.
Câu 12. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB→-BC→=DB→. B. AB→-BC→=BD→.
C. AB→-BC→=CA→. D. AB→-BC→=AC→.
Câu 13. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính OB→-OC→.
A. OB→-OC→=BC→. B. OB→-OC→=DA→.
C. OB→-OC→=OD→-OA→. D. OB→-OC→=AB→.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB→=BC→=CA→. B. CA→=-AB→.
C. AB→=BC→=CA→=a. D. CA→=-BC→.
Câu 15. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AM→+MB→+BA→=0→. B. MA→+MB→=AB→.
C. MA→+MB→=MC→. D. AB→+AC→=AM→.
Câu 16. Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AB→+BC→+CA→=0→. B. AP→+BM→+CN→=0→.
C. MN→+NP→+PM→=0→. D. PB→+MC→=MP→.
Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB+BC=AC. B. AB→+BC→+CA→=0→.
C. AB→=BC→⇔CA→=BC→. D. AB→-CA→=BC→.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB=AC và đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB→+AC→=AH→. B. HA→+HB→+HC→=0→.
C. HB→+HC→=0→. D. AB→=AC→.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AH→+HB→=AH→+HC→. B. AH→-AB→=AH→-AC→.
C. BC→-BA→=HC→-HA→. D. AH→=AB→-AH→.
Câu 20. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ MP→+NP→ bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
A. AP→. B. BP→. C. MN→. D. MB→+NB→.
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với O tại hai điểm A và B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. OA→=-OB→. B. AB→=-OB→. C. OA=-OB. D. AB=-BA.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT, MT' (T và T' là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MT→=MT'→. B. MT+MT'=TT'. C. MT=MT'. D. OT→=-OT'→.
Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB→+CD→=AD→+CB→. B. AB→+BC→+CD→=DA→.
C. AB→+BC→=CD→+DA→. D. AB→+AD→=CD→+CB→.
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA→?
A. BC→+AB→. B. -OA→+OC→. C. BA→+DA→. D. DC→-CB→.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA→+OC→+OE→=0→. B. OA→+OC→+OB→=EB→.
C. AB→+CD→+EF→=0→. D. BC→+EF→=AD→.
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ AO→-DO→ bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
A. BA→. B. BC→. C. DC→. D. AC→.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA→+OB→+OC→+OD→=0→. B. AC→=AB→+AD→.
C. BA→+BC→=DA→+DC→. D. AB→+CD→=AB→+CB→.
Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. DO→=EB→-EO→. B. OC→=EB→+EO→.
C. OA→+OC→+OD→+OE→+OF→=0→. D. BE→+BF→-DO→=0→.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. GA→+GC→+GD→=BD→. B. GA→+GC→+GD→=CD→.
C. GA→+GC→+GD→=O→. D. GA→+GD→+GC→=CD→.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AC→=BD→. B. AB→+AC→+AD→=0→.
C. AB→-AD→=AB→+AD→. D. BC→+BD→=AC→-AB→.
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB→+AC→.
A. AB→+AC→=a3. B. AB→+AC→=a32.
C. AB→+AC→=2a. D. AB→+AC→=2a3.
Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=a. Tính AB→+AC→.
A. AB→+AC→=a2. B. AB→+AC→=a22.
C. AB→+AC→=2a. D. AB→+AC→=a.
Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB=2. Tính độ dài của AB→+AC→.
A. AB→+AC→=5. B. AB→+AC→=25.
C. AB→+AC→=3. D. AB→+AC→=23.
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB=3, AC=4. Tính CA→+AB→.
A. CA→+AB→=2. B. CA→+AB→=213. C. CA→+AB→=5. D. CA→+AB→=13.
Câu 35. Tam giác ABC có AB=AC=a và BAC^=120°. Tính AB→+AC→.
A. AB→+AC→=a3. B. AB→+AC→=a.
C. AB→+AC→=a2. D. AB→+AC→=2a.
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính CA→-HC→.
A. CA→-HC→=a2. B. CA→-HC→=3a2. C. CA→-HC→=23a3. D. CA→-HC→=a72.
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC=12. Tính độ dài của vectơ v→=GB→+GC→.
A. v→=2. B. v→=23. C. v→=8. D. v→=4.
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC=2a và BD=a. Tính AC→+BD→.
A. AC→+BD→=3a. B. AC→+BD→=a3.
C. AC→+BD→=a5. D. AC→+BD→=5a.
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB→-DA→.
A. AB→-DA→=0. B. AB→-DA→=a. C. AB→-DA→=a2. D. AB→-DA→=2a.
Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính OB→+OC→.
A. OB→+OC→=a. B. OB→+OC→=a2. C. OB→+OC→=a2. D. OB→+OC→=a22.
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA→+MB→+MC→=0→. Xác định vị trí điểm M.
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM.
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng với C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức MB→-MC→=BM→-BA→ là
A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC.
C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với BC.
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA→+MB→-MC→=MD→ là
A. một đường tròn. B. một đường thẳng.
C. tập rỗng. D. một đoạn thẳng.
Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB→+MC→=AB→. Tìm vị trí điểm M.
A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC. D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM.
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA→-MB→+MC→=0→. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MABC là hình bình hành. B. AM→+AB→=AC→.
C. BA→+BC→=BM→. D. MA→=BC→.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có AB→+AC→=AD→≠BC→ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai.
Đáp án B. Ta có MP→+NM→=NM→+MP→=NP→. Vậy B đúng. Chọn B.
Đáp án C. Ta có CA→+BA→=-AC→+AB→=-AD→≠CB→ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy C sai.
Đáp án D. Ta có AA→+BB→=0→+0→=0→≠AB→. Vậy D sai.
Câu 2. Chọn D.
Ta có a→=-b→. Do đó, a→ và b→ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 3. Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có CA→-BA→=CA→+AB→=CB→=-BC→. Vậy A sai.
Đáp án B. Ta có AB→+AC→=AD→≠BC→ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai.
Đáp án C. Ta có AB→+CA→=CA→+AB→=CB→. Vậy C đúng. Chọn C.
Câu 4. Ta có AB→=-CD→=DC→. Do đó:
AB→ và CD→ ngược hướng.
AB→ và CD→ cùng độ dài.
ABCD là hình bình hành nếu AB→ và CD→ không cùng giá.
AB→+CD→=0→.
Chọn B.
Câu 5. Ta có MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→=MN→+NP→+PQ→+QR→+RN→=MN→.
Chọn B.
Câu 6. Chọn C.
Câu 7. Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là IA→=-IB→⇔IA→+IB→=0→. Chọn B.
Câu 8. Tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Do đó, H là trung điểm BC.
Ta có:
AB=AC→AB→=AC→
H là trung điểm BC→HC→=-HB→BC→=2HC→.
Chọn A.
Câu 9.
ABCD là hình vuông ⇒AD→=BC→=-CB→→AD→=CB→. Chọn D.
Câu 10. Chọn D. Với ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên một đường thẳng, đẳng thức AB→+BC→=AC→↔AB+BC=AC xảy ra khi B nằm giữa A và C.
Câu 11.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có OA→-OB→=BA→=CD→. Vậy A đúng.
Đáp án B. Ta có OB→-OC→=CB→=-AD→OD→-OA→=AD→. Vậy B sai.
Đáp án C. Ta có AB→-AD→=DB→. Vậy C đúng.
Đáp án D. Ta có BC→-BA→=AC→DC→-DA→=AC→. Vậy D đúng.
Chọn B.
Câu 12. Chọn A. Do ABCD là hình bình hành nên BC→=AD→.
Suy ra AB→-BC→=AB→-AD→=DB→.
Câu 13. Ta có OB→-OC→=CB→=DA→. Chọn B.
Câu 14. Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ AB→=BC→=CA→=a.
Chọn C.
Câu 15.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có AM→+MB→+BA→=0→ (theo quy tắc ba điểm). Chọn A.
Đáp án B, C. Ta có
MA→+MB→=2MN→=AC→
(với điểm Nlà trung điểm của AB).
Đáp án D. Ta có AB→+AC→=2AM→.
Câu 16.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có AB→+BC→+CA→=AA→=0→.
Đáp án B. Ta có AP→+BM→+CN→=12AB→+12BC→+12CA→
=12AB→+BC→+CA→=12AA→=0→.
Đáp án C. Ta có MN→+NP→+PM→=MM→=0→.
Đáp án D. Ta có PB→+MC→=12AB→+12BC→=12AC→=AN→=PM→=-MP→.
Chọn D.
Câu 17. Đáp án A chỉ đúng khi ba điểmA, B, C thẳng hàng và B nằm giữaA, C.
Đáp án B đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn B.
Câu 18.
Do ΔABC cân tại A,
AH là đường cao nên H là trung điểm BC.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có AB→+AC→=2AH→.
Đáp án B. Ta có HA→+HB→+HC→=HA→+0→=HA→≠0→.
Đáp án C. Ta có HB→+HC→=0→ (do H là trung điểm BC).
Đáp án D. Do AB→ và AC→ không cùng phương nên AB→≠AC→. Chọn C.
Câu 19.
Do ΔABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có AH→+HB→=AB→=aAH→+HC→=AC→=a
⇒AH→+HB→=AH→+HC→.
Đáp án B. Ta có AH→-AB→=BH→AH→-AC→=CH→=-BH→. Do đó B sai. Chọn B.
Đáp án C. Ta có BC→-BA→=AC→HC→-HA→=AC→→BC→-BA→=HC→-HA→.
Đáp án D. Ta có AB→-AH→=HB→=AH→ (do ΔABC vuông cân tại A).
Câu 20.
Ta có NP→=BM→ → MP→+NP→=MP→+BM→=BP→.
Chọn B.
Câu 21.
Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên AB là đường kính.
Do đó O là trung điểm của AB.
Suy ra OA→=-OB→.
Chọn A.
Câu 22.
Do MT, MT' là hai tiếp tuyến (T và T' là hai tiếp điểm) nên MT=MT'.
Chọn C.
Câu 23. Ta có AB→+CD→=AD→+DB→+CB→+BD→=
AD→+CB→+DB→+BD→=AD→+CB→.
Chọn A.
Câu 24.
