BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu 1. Cho a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a→.b→=a→.b→. B. a→.b→=0. C. a→.b→=-1. D. a→.b→=-a→.b→.
Câu 2. Cho hai vectơ a→ và b→ khác 0→. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→ khi a→.b→=-a→.b→.
A. α=1800. B. α=00. C. α=900. D. α=450.
Câu 3. Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=3, b→=2 và a→.b→=-3. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
A. α=300. B. α=450. C. α=600. D. α=1200.
Câu 4. Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=b→=1 và hai vectơ u→=25a→-3b→ và v→=a→+b→ vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
A. α=900. B. α=1800. C. α=600. D. α=450.
Câu 5. Cho hai vectơ a→ và b→. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. a→.b→=12a→+b→2-a→2-b→2. B. a→.b→=12a→2+b→2-a→-b→2.
C. a→.b→=12a→+b→2-a→-b→2. D. a→.b→=14a→+b→2-a→-b→2.
Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB→.AC→.
A. AB→.AC→=2a2. B. AB→.AC→=-a232. C. AB→.AC→=-a22. D. AB→.AC→=a22.
Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB→.BC→.
A. AB→.BC→=a2. B. AB→.BC→=a232. C. AB→.BC→=-a22. D. AB→.BC→=a22.
Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AB→.AC→=12a2. B. AC→.CB→=-12a2. C. GA→.GB→=a26. D. AB→.AG→=12a2.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AH→.BC→=0. B. AB→,HA→=1500. C. AB→.AC→=a22. D. AC→.CB→=a22.
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB=AC=a. Tính AB→.BC→.
A. AB→.BC→=-a2. B. AB→.BC→=a2. C. AB→.BC→=-a222. D. AB→.BC→=a222.
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB=c,AC=b. Tính BA→.BC→.
A.BA→.BC→=b2. B. BA→.BC→=c2. C. BA→.BC→=b2+c2. D.BA→.BC→=b2-c2.
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB=2 cm,BC=3 cm,CA=5 cm. Tính CA→.CB→.
A. CA→.CB→=13. B. CA→.CB→=15. C. CA→.CB→=17. D. CA→.CB→=19.
Câu 13. Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b,AB=c. Tính P=AB→+AC→.BC→.
A. P=b2-c2. B. P=c2+b22. C. P=c2+b2+a23. D. P=c2+b2-a22.
Câu 14. Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b,AB=c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính AM→.BC→.
A. AM→.BC→=b2-c22. B. AM→.BC→=c2+b22.
C. AM→.BC→=c2+b2+a23. D. AM→.BC→=c2+b2-a22.
Câu 15. Cho ba điểm O,A,B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng OA→+OB→.AB→=0 là
A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O.
C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O.
Câu 16. Cho M,N,P,Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. MN→NP→+PQ→=MN→.NP→+MN→.PQ→. B. MP→.MN→=-MN→.MP→.
C. MN→.PQ→=PQ→.MN→. D. MN→-PQ→MN→+PQ→=MN2-PQ2.
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB→.AC→.
A. AB→.AC→=a2. B. AB→.AC→=a22. C. AB→.AC→=22a2. D. AB→.AC→=12a2.
Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P=AC→.CD→+CA→.
A. P=-1. B. P=3a2. C. P=-3a2. D. P=2a2.
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P=AB→+AC→.BC→+BD→+BA→.
A. P=22a. B. P=2a2. C. P=a2. D. P=-2a2.
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE→.AB→.
A. AE→.AB→=2a2. B. AE→.AB→=3a2. C. AE→.AB→=5a2. D. AE→.AB→=5a2.
Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM=AC4. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB→.MN→.
A. MB→.MN→=-4. B. MB→.MN→=0. C. MB→.MN→=4. D. MB→.MN→=16.
Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8,AD=5. Tích AB→.BD→.
A. AB→.BD→=62. B. AB→.BD→=64. C. AB→.BD→=-62. D. AB→.BD→=-64.
Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC=8 và BD=6. Tính AB→.AC→.
A. AB→.AC→=24. B. AB→.AC→=26. C. AB→.AC→=28. D. AB→.AC→=32.
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB=8 cm,AD=12 cm, góc ABC^ nhọn và diện tích bằng 54 cm2. Tính cosAB→,BC→.
A. cosAB→,BC→=2716. B. cosAB→,BC→=-2716.
C. cosAB→,BC→=5716. D. cosAB→,BC→=-5716.
Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a và AD=a2. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính BK→.AC→.
A. BK→.AC→=0. B. BK→.AC→=-a22. C. BK→.AC→=a22. D. BK→.AC→=2a2.
Vấn đề 2. QUỸ TÍCH
Câu 26. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→MB→+MC→=0 là:
A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.
Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB→MA→+MB→+MC→=0 với A,B,C là ba đỉnh của tam giác.
A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.
Câu 28. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→.BC→=0 là:
A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.
Câu 29*. Cho hai điểm A,B cố định có khoảng cách bằng a. Tập hợp các điểm N thỏa mãn AN→.AB→=2a2 là:
A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.
Câu 30*. Cho hai điểm A,B cố định và AB=8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→.MB→=-16 là:
A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn.
Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định AxA;yA,BxB;yB,CxC;yC thì
Trung điểm I của đoạn AB⇒IxA+xB2;yA+yB2.
Trọng tâm G⇒GxA+xB+xC3;yA+yB+yC3.
Trực tâm H⇔HA→.BC→=0HB→.CA→=0.
Tâm đường tròn ngoại tiếp E⇒EA=EB=EC
⇔AE2=BE2AE2=CE2.
Chân đường cao K hạ từ đỉnh A⇔AK→.BC→=0BK→=kBC→.
Chân đường phân giác trong góc A là điểm D⇔DB→=-ABAC.DC→.
Chu vi: P=AB+BC+CA.
Diện tích: S=12AB.AC.sinA
=12AB.AC.1-cos2A.
Góc A:cosA=cosAB→,AC→.
Tam giác ABC vuông cân tại A⇔AB→.AC→=0AB=AC.
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A3;-1,B2;10,C-4;2. Tính tích vô hướng AB→.AC→.
A. AB→.AC→=40. B. AB→.AC→=-40. C. AB→.AC→=26. D. AB→.AC→=-26.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A3;-1 và B2;10. Tính tích vô hướng AO→.OB→.
A. AO→.OB→=-4. B. AO→.OB→=0. C. AO→.OB→=4. D. AO→.OB→=16.
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=4i→+6j→ và b→=3i→-7j→. Tính tích vô hướng a→.b→.
A. a→.b→=-30. B. a→.b→=3. C. a→.b→=30. D. a→.b→=43.
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=-3;2 và b→=-1;-7. Tìm tọa độ vectơ c→ biết c→.a→=9 và c→.b→=-20.
A. c→=-1;-3. B. c→=-1;3. C. c→=1;-3. D. c→=1;3.
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a→=1;2,b→=4;3 và c→=2;3.
Tính P=a→.b→+c→.
A. P=0. B. P=18. C. P=20. D. P=28.
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=-1;1 và b→=2;0. Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→.
A. cosa→,b→=12. B. cosa→,b→=-22.
C. cosa→,b→=-122. D. cosa→,b→=12.
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=-2;-1 và b→=4;-3. Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→.
A. cosa→,b→=-55. B. cosa→,b→=255.
C. cosa→,b→=32. D. cosa→,b→=12.
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=4;3 và b→=1;7. Tính góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
A. α=90O. B. α=60O. C. α=45O. D. α=30O.
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x→=1;2 và y→=-3;-1. Tính góc α giữa hai vectơ x→ và y→.
A. α=45O. B. α=60O. C. α=90O. D. α=135O.
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=2;5 và b→=3;-7. Tính góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
A. α=30O. B. α=45O. C. α=60O. D. α=135O.
Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a→=9;3. Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a→?
A. v1→=1;-3. B. v2→=2;-6. C. v3→=1;3. D. v4→=-1;3.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A1;2,B-1;1 và C5;-1. Tính cosin của góc giữa hai vectơ AB→ và AC→.
A. cosAB→,AC→=-12. B. cosAB→,AC→=32.
C. cosAB→,AC→=-25. D. cosAB→,AC→=-55.
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A6;0,B3;1 và C-1;-1. Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O.
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A-8;0,B0;4,C2;0 và D-3;-5. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai góc BAD^ và BCD^ phụ nhau. B. Góc BCD^ là góc nhọn.
C. cosAB→,AD→=cosCB→,CD→. D. Hai góc BAD^ và BCD^ bù nhau.
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u→=12i→-5j→ và v→=ki→-4j→. Tìm k để vectơ u→ vuông góc với v→.
A. k=20. B. k=-20. C. k=-40. D. k=40.
Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u→=12i→-5j→ và v→=ki→-4j→. Tìm k để vectơ u→ và vectơ v→ có độ dài bằng nhau.
A. k=374. B. k=372. C. k=±372. D. k=58.
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a→=-2;3,b→=4;1 và c→=ka→+mb→ với k,m∈R. Biết rằng vectơ c→ vuông góc với vectơ a→+b→. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2k=2m. B. 3k=2m. C. 2k+3m=0. D. 3k+2m=0.
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a→=-2;3 và b→=4;1. Tìm vectơ d→ biết a→.d→=4 và b→.d→=-2.
A. d→=57;67. B. d→=-57;67. C. d→=57;-67. D. d→=-57;-67.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u→=4;1,v→=1;4 và a→=u→+m.v→ với m∈R. Tìm m để a→ vuông góc với trục hoành.
A. m=4. B. m=-4. C. m=-2. D. m=2.
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u→=4;1 và v→=1;4. Tìm m để vectơ a→=m.u→+v→ tạo với vectơ b→=i→+j→ một góc 450.
A. m=4. B. m=-12. C. m=-14. D. m=12.
Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M1;- 2 và N- 3;4.
A. MN=4. B. MN=6. C. MN=36. D. MN=213.
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A1;4,B3;2,C5;4. Tính chu vi P của tam giác đã cho.
A. P=4+22. B. P=4+42. C. P=8+82. D. P=2+22.
Câu 53. Trong hệ tọa độ O;i→;j→, cho vectơ a→=-35i→-45j→. Độ dài của vectơ a→ bằng
A. 15. B. 1. C. 65. D. 75.
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u→=3;4 và v→=- 8;6. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. u→=v→. B. M0;-12. và v→ cùng phương.
C. u→ vuông góc với v→. D. u→=- v→.
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A1;2,B- 2;- 4,C0;1 và D-1;32. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. AB→ cùng phương với CD→. B. AB→=CD→.
C. AB→⊥CD→. D. AB→=CD→.
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A7;-3,B8;4,C1;5 và D0;-2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AC→⊥CB→.
B. Tam giác ABC đều.
C. Tứ giác ABCD là hình vuông.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn.
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A-1;1,B0;2,C3;1 và D0;-2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình thoi.
C. Tứ giác ABCD là hình thang cân.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A-1;1,B1;3 và C1;-1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
C. Tam giác ABC cân tại B. D. Tam giác ABC vuông cân tại A.
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A10;5,B3;2 và C6;-5. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A.
C. Tam giác ABC vuông cân tại B. D. Tam giác ABC có góc A tù.
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A-2;-1,B1;-1 và C-2;2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A.
C. Tam giác ABC vuông tại B. D. Tam giác ABC vuông cân tại C.
Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A-2;4 và B8;4. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.
A. C6;0. B. C0;0, C6;0. C. C0;0. D. C-1;0.
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;2 và B-3;1. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.
A. C0;6. B. C5;0. C. C3;1. D. C0;-6.
Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A–4;0,B–5;0 và C3;0. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MA→+MB→+MC→=0→.
A. M–2;0. B. M2;0. C. M–4;0. D. M–5;0.
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M–2;2 và N1;1. Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M,N,P thẳng hàng.
A. P0;4. B. P0;–4. C. P–4;0. D. P4;0.
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N- 1;4 bằng 25.
A. M1;0. B. M1;0,M-3;0. C. M3;0. D. M1;0,M3;0.
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;3 và B4;2. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.
A. C-53;0. B. C53;0. C. C-35;0. D. C35;0.
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A2;2, B5;- 2. Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho AMB^=900 ?
A. M0;1. B. M6;0. C. M1;6. D. M0;6.
Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;- 1 và B3;2. Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.
A. M0;1. B. M0;- 1. C. M0;12. D. M0;-12.
Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A-2;0, B2;5, C6;2. Tìm tọa độ điểm D.
A. D2;-3. B. D2;3. C. D-2;-3. D. D-2;3.
Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A1;3,B-2;4,C5;3. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho.
A. G2;103. B. G83;-103. C. G2;5. D. G43;103.
Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A-4;1,B2;4, C2;-2. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
A. I14;1. B. I-14;1. C. I1;14. D. I1;-14.
Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A-3;0,B3;0 và C2;6. Gọi Ha;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a+6b.
A. a+6b=5. B. a+6b=6. C. a+6b=7. D. a+6b=8.
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A4;3, B2;7 và C- 3;- 8. Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
A. A'1;- 4. B. A'- 1;4. C. A'1;4. D. A'4;1.
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A2;4,B-3;1, C3;-1. Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.
A. A'35;15. B. A'-35;-15. C. A'-35;15. D. A'35;-15.
Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A-3;-2,B3;6 và C11;0. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông.
A. D5;- 8. B. D8;5. C. D- 5;8. D. D- 8;5.
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A2;4 và B1;1. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.
A. C4;0. B. C-2;2. C. C4;0,C-2;2. D. C2;0.
Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A1;-1 và B3;0. Tìm tọa độ điểm D, biết D có tung độ âm.
A. D0;-1. B. D2;-3. C. D2;-3,D0;1. D. D-2;-3.
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A1;2, B- 1;3, C- 2;- 1 và D0;- 2. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật.
C. ABCD là hình thoi. D. ABCD là hình bình hành.
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A1;3 và B4;2. Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.
A. E=52;52. B. E=32;-12.
C. E=-2+32;4+2. D. E=-2+32;4-2.
Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A2;0,B0;2 và C0;7. Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD.
A. D7;0. B. D7;0,D2;9. C. D0;7,D9;2. D. D9;2.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→,b→.
Do a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng nên a→,b→=00→cosa→,b→=1.
Vậy a→.b→=a→.b→. Chọn A.
Câu 2. Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→,b→.
Mà theo giả thiết a→.b→=-a→.b→, suy ra cosa→,b→=-1⇒a→,b→=1800. Chọn A.
Câu 3. Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→,b→
⇒cosa→,b→=a→.b→a→.b→=-33.2=-12
⇒a→,b→=1200
Chọn D.
Câu 4. Ta có u→⊥v→⇔u→.v→=0
⇔25a→-3b→a→+b→=0
⇔25a→2-135a→b→-3b→2=0
→a→=b→=1a→b→=-1.
Suy ra cosa→,b→=a→.b→a→.b→=-1
⇒a→,b→=1800Chọn B.
Câu 5. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 12 và 14 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D.
Ta có a→+b→2-a→-b→2=
a→+b→2-a→-b→2=4a→b→
⇒a→.b→=14a→+b→2-a→-b→2.
Chọn C.
• A đúng, vì a→+b→2=a→+b→2=a→+b→.a→+b→
=a→.a→+a→.b→+b→.a→+b→.b→=a→2+b→2+2a→.b→
→a→.b→=12a→+b→2-a→2-b→2.
• B đúng, vì a→-b→2=a→-b→2=a→-b→.a→-b→
=a→.a→-a→.b→-b→.a→+b→.b→=a→2+b→2-2a→.b→
→a→.b→=12a→2+b→2-a→-b→2.
Câu 6. Xác định được góc AB→,AC→ là góc A^ nên AB→,AC→=600.
Do đó AB→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos600=a22. Chọn D.
Câu 7. Xác định được góc AB→,BC→ là góc ngoài của góc B^ nên AB→,BC→=1200.
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→
=a.a.cos1200=-a22.Chọn C.
Câu 8. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
• Xác định được góc AB→,AC→ là góc A^ nên AB→,AC→=600.
Do đó AB→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→
=a.a.cos600=a22 → A đúng.
• Xác định được góc AC→,CB→ là góc ngoài của góc C^ nên AC→,CB→=1200.
Do đó AC→.CB→=AC.CB.cosAC→,CB→
=a.a.cos1200=-a22 → B đúng.
• Xác định được góc GA→,GB→ là góc AGB^ nên GA→,GB→=1200.
Do đó GA→.GB→=GA.GB.cosGA→,GB→
=a3.a3.cos1200=-a26 → C sai. Chọn C.
• Xác định được góc AB→,AG→ là góc GAB^ nên AB→,AG→=300.
Do đó AB→.AG→=AB.AG.cosAB→,AG→
=a.a3.cos300=a22 → D đúng.
Câu 9. Xác định được góc AC→,CB→ là góc ngoài của góc A^ nên AC→,CB→=1200.
Do đó AC→.CB→=AC.CB.cosAC→,CB→
=a.a.cos1200=-a22.Chọn D.
Câu 10. Xác định được góc AB→,BC→ là góc ngoài của góc B^ nên AB→,BC→=1350.
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→
=a.a2.cos1350=-a2.Chọn A.
Câu 11. Ta có BA→.BC→=BA.BC.cosBA→,BC→
=BA.BC.cosB^=c.b2+c2.cb2+c2=c2.
Chọn B.
Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB⊥AC⇒ AB→.AC→=0.
Ta có BA→.BC→=BA→.BA→+AC→
=BA→2+BA→.AC→=AB2=c2.Chọn B.
Câu 12. Ta có AB+BC=CA⇒ ba điểm A, B, C thẳng hàng và AC→I4;- 1. nằm giữa A, C.
Khi đó CA→.CB→=CA.CB.cosCA→,CB→=3.5.cos00=15. Chọn B.
Cách khác. Ta có AB2=AB→2=CB→-CA→2
=CB2-2CB→CA→+CA2
→CB→CA→=12CB2+CA2-AB2
=1232+52-22=15.
Câu 13. Ta có P=AB→+AC→.BC→=AB→+AC→.BA→+AC→.
=AC→+AB→.AC→-AB→
=AC→2-AB→2=AC2-AB2=b2-c2.Chọn A.
Câu 14. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB→+AC→=2 AM→.
Khi đó AM→.BC→=12AB→+AC→.BC→=
12AB→+AC→.BA→+AC→
=12AC→+AB→.AC→-AB→=
12AC→2-AB→2=12AC2-AB2=b2-c22.Chọn A.
Câu 15. Ta có OA→+OB→.AB→=0
⇔OA→+OB→.OB→-OA→=0
⇔OB→2-OA→2=0
⇔OB2-OA2=0⇔OB=OAChọn B.
Câu 16. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.
Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP→.MN→=MN→.MP→.
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán.
Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B
Câu 17. Ta có AB→,AC→=BAC^=450 nên AB→.AC→=AB.AC.cos450=a.a2.22=a2.
Chọn A.
Câu 18. Từ giả thiết suy ra AC=a2.
Ta có P=AC→.CD→+CA→=
AC→.CD→+AC→.CA→=-CA→.CD→-AC→2
=-CA.CDcosCA→,CD→-AC2=
-a2.a.cos450-a22=-3a2.Chọn C.
Câu 19. Ta có BD=a2BC→+BD→+BA→=BC→+BA→+BD→=BD→+BD→=2BD→.
Khi đó
P=AB→+AC→.2BD→=2AB→.BD→+2AC→.BD→=-2BA→.BD→+0
=-2.BA.BDcosBA→,BD→=-2.a.a2.22=-2a2.
Chọn D.
Câu 20. Ta có C là trung điểm của DE nên DE=2a.
Khi đó AE→.AB→=AD→+DE→.AB→=AD→.AB→⏟0+DE→.AB→
=DE.AB.cosDE→,AB→=DE.AB.cos00=2a2. Chọn A.
Câu 21. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB→,MN→ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
•MB→=AB→-AM→=AB→-14AC→=AB→-14AB→+AD→=34AB→-14AD→.
•MN→=AN→-AM→=AD→+DN→-14AC→=AD→+12DC→-14AB→+AD→
=AD→+12AB→-14AB→+AD→=34AD→+14AB→.
Suy ra:
MB→.MN→=34AB→-14AD→34AD→+14AB→
=1163AB→.AD→+3AB→2-3AD→2-AD→.AB→
=1160+3a2-3a2-0=0. Chọn B.
Câu 22. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB→,BD→ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
Ta có AB→.BD→=AB→.BA→+BC→=AB→.BA→+AB→.BC→
=-AB→.AB→+0=-AB2=-64
Chọn D.
Câu 23. Gọi O=AC∩BD, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB→,AC→ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
Ta có
AB→.AC→=AO→+OB→.AC→=
AO→.AC→+OB→.AC→=12AC→.AC→+0=12AC2=32
Chọn D.
Câu 24. Ta có SABCD=2.SΔABC=54⇔SΔABC=27 cm2. Diện tích tam giác ABC là:
SΔABC=12.AB.BC.sinABC^
=12.AB.AD.sinABC^
⇒sinABC^=2.SΔABCAB.AD=2.278.12=916
→ cosABC^=1-sin2ABC^=5716(vì ABC^ nhọn).
Mặt khác góc giữa hai vectơ AB→, BC→ là góc ngoài của góc ABC^
Suy ra cosAB→,BC→=cos1800-ABC^
=- cosABC^=- 5716.Chọn D.
Câu 25. Ta có
AC=BD=AB2+AD2=2a2+a2=a3.
Ta có BK→=BA→+AK→=BA→+12AD→AC→=AB→+AD→
→BK→.AC→=BA→+12AD→AB→+AD→
=BA→.AB→+BA→.AD→+12AD→.AB→
+12AD→.AD→=-a2+0+0+12a22=0.Chọn A.
Câu 26. Gọi I là trung điểm BC→MB→+MC→=2MI→.
Ta có MA→MB→+MC→=0
⇔MA→.2MI→=0⇔MA→.MI→=0⇔MA→⊥MI→. *
Biểu thức * chứng tỏ MA⊥MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI. Chọn D.
Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC→MA→+MB→+MC→=3MG→.
Ta có MB→MA→+MB→+MC→=0
⇔MB→.3MG→=0⇔MB→.MG→=0
⇔MB→⊥MG→*
Biểu thức * chứng tỏ MB⊥MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG. Chọn D.
Câu 28. Ta có MA→.BC→=0⇔MA⊥BC.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Chọn B.
Câu 29*. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. Khi đó AC→=2AB→.
Suy ra AB→.AC→=2AB→2=2a2.
Kết hợp với giả thiết, ta có AN→.AB→=AB→.AC→
⇔AB→AN→-AC→=0⇔AB→.CN→=0⇔CN⊥AB.
Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. Chọn B.
Câu 30*. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB→IA→=-IB→.
Ta có MA→.MB→=MI→+IA→MI→+IB→
=MI→+IA→MI→-IA→
=MI→2-IA→2=MI2-IA2=MI2-AB24.
Theo giả thiết, ta có MI2-AB24=-16
⇔MI2=AB24-16=824-16=0→M≡I
Chọn A.
Câu 31. Ta có AB→=-1;11,AC→=-7;3.
Suy ra AB→.AC→=-1.-7+11.3=40. Chọn A.
Câu 32. Ta có AO→=-3;1,OB→=2;10.
Suy ra AO→.OB→=-3.2+1.10=4. Chọn C.
Câu 33. Từ giả thiết suy ra a→=4;6 và b→=3;-7.
Suy ra a→.b→=4.3+6.-7=-30. Chọn A.
Câu 34. Gọi c→=x;y.
Ta có c→.a→=9c→.b→=-20⇔-3x+2y=9-x-7y=-20
⇔x=-1y=3→c→=-1;3.
Chọn B.
Câu 35. Ta có b→+c→=6;6.Suy ra P=a→.b→+c→=1.6+2.6=18. Chọn B.
Câu 36. Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=-1.2+1.0-12+12.22+02=-22. Chọn B.
Câu 37. Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=-2.4+-1.-34+1.16+9=-55. Chọn A.
Câu 38. Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=4.1+3.716+9.1+49
=22→a→,b→=450Chọn C.
Câu 39. Ta có cosx→,y→=x→.y→x→.y→=1.-3+2.-11+4.9+1
=-22→x→,y→=1350Chọn D.
Câu 40. Ta có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=2.3+5-74+25.9+49
=-22→a→,b→=1350Chọn D.
Câu 41. Kiểm tra tích vô hướng a→.v→, nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó không vuông góc với a→. Chọn C.
Câu 42. Ta có AB→=-2;-1 và AC→=4;-3.
Suy ra cosAB→,AC→=AB→.AC→AB→.AC→
=-2.4+-1.-34+1.16+9=-55.Chọn D.
Câu 43. Ta có BA→=3;-1 và BC→=-4;-2. Suy ra:
cosBA→,BC→=BA→.BC→BA→.BC→=
3.-4+-1.-29+1.16+4=-22→B^=BA→,BC→=135O
Chọn D.
Câu 44. Ta có AB→=8;4,AD→=5;-5,
CB→=-2;4,CD→=-5;5.
Suy ra cosAB→,AD→=8.5+4.-582+42.52+52=110cosCB→,CD→=-2.-5+4.-522+42.52+52=-110
→cosAB→,AD→+cosCB→,CD→=0
⇒BAD^+BCD^=1800Chọn D.
Câu 45. Từ giả thiết suy ra u→=12;-5,v→=k;-4.
Yêu cầu bài toán: u→⊥v→⇔12k+-5-4=0⇔k=-40. Chọn C.
Câu 46. Từ giả thiết suy ra u→=12;-5,v→=k;-4.
Suy ra u→=14+25=12101 và v→=k2+16. Do đó để
u→=v→⇔k2+16=12101
⇔k2+16=1014⇔k2=374⇔k=±372.Chọn C.
Câu 47. Ta có c→=ka→+mb→=-2k+4m;3k+ma→+b→=2;4.
Để c→⊥a→+b→⇔c→a→+b→=0
⇔2-2k+4m+43k+m=0⇔2k+3m=0.Chọn C.
Câu 48. Gọi d→=x;y. Từ giả thiết, ta có hệ -2x+3y=44x+y=-2⇔x=-57y=67. Chọn B.
Câu 49. Ta có a→=u→+m.v→=4+m;1+4m. Trục hoành có vectơ đơn vị là i→=1;0.
Vectơ a→ vuông góc với trục hoành ⇔a→.i→=0⇔4+m=0⇔m=-4. Chọn B.
Câu 50. Ta có a→=m.u→+v→=4m+1;m+4b→=i→+j→=1;1.
Yêu cầu bài toán ⇔cosa→,b→=cos450=22
⇔4m+1+m+424m+12+m+42=22
⇔5m+1217m2+16m+17=22
⇔5m+1=17m2+16m+17
⇔m+1≥025m2+50m+25=17m2+16m+17⇔m=-14.
Chọn C.
Câu 51. Ta có MN→=- 4;6 suy ra
MN=- 42+62=42=213. Chọn D.
Câu 52. Ta có AB→=2;- 2BC→=2;2CA→=- 4;0
⇒AB=22+- 22=22BC=22+22=22CA=- 42+02=4
Vậy chu vi P của tam giác ABC là P=AB+BC+CA=4+42. Chọn B.
Câu 53. Ta có a→=-35 i→-45 j→ → a→=-35;-45
⇒a→=-352+-452=1.Chọn B.
Câu 54. Ta có u→.v→=3.- 8+4.6=0 suy ra u→ vuông góc với v→. Chọn C.
Câu 55. Ta có AB→=- 3;- 6 và CD→=- 1;12 suy ra AB→.CD→=- 3.- 1+- 6.12=0.
Vậy AB→ vuông góc với CD→. Chọn C.
Câu 56. Ta có AB→=1;7⇒AB=12+72=52BC→=-7;1⇒BC=52CD→=-1;-7⇒CD=52DA→=7;-1⇒DA=52
→AB=BC=CD=DA=52
Lại có AB→.BC→=1-7+7.1=0 nên AB⊥BC.
Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Chọn C.
Câu 57. Ta có AB→=1;1DC→=3;3→DC→=3AB→.
Suy ra DC∥AB và DC=3AB. 1
Mặt khác AD=12+32=10BC=32+12=10→AD=BC. 2
Từ 1 và 2, suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Chọn C.
Câu 58. Ta có AB→=2;2, BC→=0;- 4 và AC→=2;- 2.
Suy ra AB=AC=22AB2+AC2=BC2. Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn D.
Câu 59. Ta có AB→=- 7;- 3, BC→=3;- 7 và AC→=- 4;- 10.
Suy ra AB→.BC→=- 7.3+- 3.- 7=0 và AB=BC.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Chọn C.
Câu 60. Ta có AB→=3;0, BC→=- 3;3 và AC→=0;3.
Do đó AB=AC=3BC=32⇒AB2+AC2=BC2.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn B.
Câu 61. Ta có C∈Oxnên Cc;0 và CA→=-2-c;4CB→=8-c;4.
Tam giác ABC vuông tại C nên CA→.CB→=0⇔-2-c.8-c+4.4=0
⇔c2-6c=0⇔c=6→C6;0c=0→C0;0. Chọn B.
Câu 62. Ta có C∈Oy nên C0;c và AB→=-4;-1AC→=-1;c-2.
Tam giác ABC vuông tạiA nên AB→.AC→=0⇔
-4.-1+-1c-2=0⇔c=6.
Vậy C0;6. Chọn A.
Câu 63.
Ta có M∈Ox nên Mx;0 và MA→=-4-x;0MB→=-5-x;0MC→=3-x;0
→MA→+MB→+MC→=-6-3x;0.
Do MA→+MB→+MC→=0→ nên-6-3x=0⇔x=-2→M-2;0. Chọn A.
Câu 64. Ta có P∈Ox nên Px;0 và MP→=x+2;-2MN→=3;-1.
Do M,N,P thẳng hàng nên x+23=-2-1⇔x=4→P4;0. Chọn D.
Câu 65. Ta có M∈Ox nên Mm;0 và MN→=- 1-m;4.
Theo giả thiết: MN=25⇔MN→=25
⇔-1-m2+42=25
⇔1+m2+16=20⇔m2+2m-3=0
⇔m=1→M1;0m=-3→M-3;0.Chọn B.
Câu 66. Ta có C∈Ox nên Cx;0 và AC→=x-1;-3BC→=x-4;-2.
Do CA=CB⇔CA2=CB2⇔
x-12+-32=x-42+-22⇔x=53
→C53;0
Chọn B.
Câu 67. Ta có M∈Ox nên Mm;0 và AM→=m-2;- 2BM→=m-5;2.
Vì AMB^=900 suy ra AM→.BM→=0 nên m-2m-5+- 2.2=0.
⇔m2-7m+6=0⇔m=1m=6 → M1;0M6;0. Chọn B.
Câu 68. Ta có M∈Oy nên M0;m và MA→=1;- 1-mMB→=3;2-m.
Khi đó MA2+MB2=MA→2+MB→2=
12+-1-m2+32+2-m2=2m2-2m+15.
=2m-122+292≥292; ∀m∈R.
Suy ra MA2+MB2min=292.
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi m=12 → M0;12. Chọn C.
Câu 69. Gọi Dx;y. Ta có AD→=x+2;y và BC→=4;-3.
Vì ABCD là hình bình hành nên AD→=BC→→x+2=4y=-3
⇔x=2y=-3→D2;-3.Chọn A.
Câu 70. Tọa độ trọng tâm GxG;yG là xG=1-2+53=43yG=3+4+33=103. Chọn D.
Câu 71. Gọi Ix;y. Ta có AI→=x+4;y-1BI→=x-2;y-4CI→=x-2;y+2.
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên
IA=IB=IC⇔IA2=IB2IB2=IC2
⇔x+42+y-12=x-22+y-42x-22+y-42=x-22+y+22
⇔x+42=x-22+9y=1⇔x=-14y=1
Chọn B.
Câu 72. Ta có AH→=a+3;b&BC→=-1;6BH→=a-3;b&AC→=5;6. Từ giả thiết, ta có:
AH→.BC→=0BH→.AC→=0⇔a+3.-1+b.6=0a-3.5+b.6=0
⇔a=2b=56→a+6b=7Chọn C.
Câu 73. Gọi A'x;y. Ta có AA'→=x-4;y-3BC→=- 5;- 15BA'→=x-2;y-7.
Từ giả thiết, ta có AA'⊥BCB,A',Cthanghang⇔AA'→.BC→=01BA'→=kBC→2.
• 1⇔- 5x-4-15y-3=0⇔x+3y=13.
• 2⇔x-2-5=y-7-15⇔3x-y=-1.
Giải hệ x+3y=133x-y=- 1⇔x=1y=4 → A'1;4. Chọn C.
Câu 74. Gọi A'x;y. Ta có AA'→=x-2;y-4BC→=6;-2BA'→=x+3;y-1.
Vì A' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên
AA'⊥BCB,C,A'thaúnghaøng
⇔AA'→.BC→=0BA'→=kBC→⇔x-2.6+y-4.-2=0x+36=y-1-2
⇔6x-2y=4-2x-6y=0⇔x=35y=-15.Chọn D.
Câu 75. Dễ dàng kiểm tra BA→.BC→=0→ABC^=900.
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC→I4;- 1.
Gọi Dx;y, do I cũng là trung điểm của BD→x+32=4y+62=- 1
⇔x=5y=- 8⇒D5;- 8.
Chọn A.
Câu 76. Gọi Cx;y. Ta có BA→=1;3BC→=x-1;y-1.
Tam giác ABC vuông cân tại B⇔BA→.BC→=0BA=BC
⇔1.x-1+3.y-1=012+32=x-12+y-12
⇔x=4-3y10y2-20y=0⇔x=4-3yy=0y=2
⇔y=0x=4hoặc y=2x=-2.Chọn C.
Câu 77. Gọi C =x;y. Ta có AB→=2;1BC→=x-3;y.
Vì ABCD là hình vuông nên ta có AB→⊥BC→AB=BC
⇔2x-3+1.y=0x-32+y2=5
⇔y=23-x5x-32=5
⇔y=23-xx-32=1
⇔x=4y=-2hoặc x=2y=2.
Với C14;-2 ta tính được đỉnh D12;-3: thỏa mãn.
Với C22;2 ta tính được đỉnh D20;1: không thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 78. Ta có AB→=- 2;1BC→=- 1;- 4DC→=- 2;1
→AB→=DC→AB→.BC→=-2≠0
→ABCD là hình hình hành.
Chọn D.
Câu 79. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có EAEB=OAOB=22.
Vì E nằm giữa hai điểm A,B nên EA→=-22EB→. *
Gọi Ex;y. Ta có EA→=1-x;3-yEB→=4-x;2-y.
Từ *, suy ra 1-x=-224-x3-y=-222-y
⇔x=-2+32y=4-2.Chọn D.
Câu 80. Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi Dx;y.
Trường hợp 1: AB∥CDAB≠CD⇔CD→=kAB→ (với k≠-1)
⇔x-0;y-7=-2k;2k⇔x=-2ky=2k+7. 1
Ta có AD→=x-2;y⇒AD=x-22+y2BC→=0;5⇒BC=5
→AD=BC⇔x-22+y2=25.2
Từ 1 và 2, ta có -2k-22+2k+72=25
⇔k=-1loaik=-72→D7;0.
Trường hợp 2: AD∥BCAD≠BC. Làm tương tự ta được D=2;9.
Vậy D7;0 hoặc D2;9. Chọn B.
