Đề Thi Học kì 1 Toán 12 Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tỉnh Bắc Ninh Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 31: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng tính chất:

+) Hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+) Hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Cách giải:

+) $y = {x^3} – 3x = f\left( x \right),\,\,\left( {D = R} \right) \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow – x \in D$

Ta có $f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^3} – 3\left( { – x} \right) = – {x^3} + 3x = – f\left( x \right)$

$ \Rightarrow $ Hàm số $y = {x^3} – 3x$ là hàm lẻ $ \Rightarrow $ Đồ thị $\left( C \right)$ nhận trục O làm tâm đối xứng $ \Rightarrow $ A đúng

+) Cho $x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow $ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm duy nhất $O\left( {0;0} \right) \Rightarrow $ B đúng

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^3} – 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow $ Đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $ \Rightarrow $ D đúng.

Câu 32: Đáp án C

Phương pháp: $\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}.\ln a$

Cách giải: $y = {3^x} \Rightarrow y’ = {3^x}\ln 3$

Câu 33: Đáp án A

Cách giải:

Khẳng định sai là: Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

Câu 34: Đáp án A

Phương pháp:

Xác định tỉ số chiều cao và tỉ số diện tích đáy của chóp I.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Cách giải:

${V_1} = \frac{1}{3}.d\left( {I;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {A;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}$ (do I là trung điểm của AC)

$ = \frac{1}{6}.AA’.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}V \Rightarrow k = \frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{6}$

Câu 35: Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào TCĐ và TCN của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCĐ là $x = 2$ và TCN là $y = 2 \Rightarrow y = \frac{{2x + 3}}{{x – 2}}$

Câu 36: Đáp án B

Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng tích sau đó giải phương trình logarit cơ bản.

Cách giải:

ĐKXĐ: $x > 0$

Ta có ${\log _2}x.{\log _3}x + 1 = {\log _2}x + {\log _3}x$

$ \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _3}x – {\log _2}x + 1 – {\log _3}x = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x.\left( {{{\log }_3}x – 1} \right) + \left( {1 – {{\log }_3}x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_3}x – 1} \right)\left( {{{\log }_2}x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x – 1 = 0\\{\log _2}x – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\end{array} \right.$

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình là: ${3^3} + {2^2} = 35$

Câu 37: Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y’ = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)$

+) Bước 3: $\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = max\left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}$

Cách giải:

$y = \frac{x}{{{x^2} + 4}} \Rightarrow y’ = \frac{{1.\left( {{x^2} + 4} \right) – 2x.x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 \notin \left[ {1;5} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;5} \right]\end{array} \right.$

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$ có $y\left( 1 \right) = \frac{1}{5};\,\,\,y\left( 2 \right) = \frac{1}{4};\,\,\,y\left( 5 \right) = \frac{5}{{29}} \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = \frac{1}{4}$

Câu 38: Đáp án B

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $f’\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left( { – \infty ; + \infty } \right),\,\,f’\left( x \right) = 0$ tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

$y = – {x^3} + 2{x^2} – \left( {m – 1} \right)x + 2 \Rightarrow y’ = – 3{x^2} + 4x – m + 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

$ \Leftrightarrow {2^2} – \left( { – 3} \right).\left( {1 – m} \right) \le 0 \Leftrightarrow 4 + 3 – 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}$

Vậy $m \ge \frac{7}{3}$

Câu 39: Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y’ = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)$

+) Bước 3: $\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = max\left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}$

Cách giải:

$y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}},\,\,\left( {D = R\backslash \left\{ 1 \right\}} \right) \Rightarrow y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ { – 5; – 1} \right] \Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên $\left[ { – 5; – 1} \right]$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {max}\limits_{\left[ { – 5; – 1} \right]} y = y\left( { – 5} \right) = \frac{2}{3}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 5; – 1} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \frac{2}{3}\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow M + m = \frac{2}{3}$

Câu 40: Đáp án

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: $V = Sh$

Cách giải:

ABC là tam giác vuông cân tại C, $AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = AC = a\sqrt 2 \\AB = AC\sqrt 2 = 2a\end{array} \right.$

Đặt $AA’ = BB’ = CC’ = h$

Tam giác $AC{C_1}$ vuông tại C $ \Rightarrow A{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} $

Tam giác $BC{C_1}$ vuông tại C $ \Rightarrow B{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} $

Chu vi tam giác $AB{C_1}:\sqrt {2{a^2} + {h^2}} + \sqrt {2{a^2} + {h^2}} + 2a = 5a$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt {2{a^2} + {h^2}} = 3a \Leftrightarrow 2{a^2} + {h^2} = \frac{9}{4}{a^2} \Leftrightarrow {h^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow h = \frac{a}{2}$

Thể tích V của khối lăng trụ $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ là $V = {S_{ABC}}.h = \frac{1}{2}.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$