Đề thi học kì 1 Toán 9 UBND Quận Bắc Từ Liêm Hà Nội có lời giải chi tiết và đáp án. Các bạn xem ở dưới.
| UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC |
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
MÔN: TOÁN – Lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề |
Mục tiêu:
+) Đề thi gồm 5 câu hỏi tự luận với đầy đủ các kiến thức đã được học trong HK1 môn Toán 9. Sau khi làm đề thi các em hoàn thành đề thi này, các em có thể nắm chắc được kiến thức cả học kì 1 của mình và có định hướng tốt làm các bài kiểm tra cũng như bài thi có dạng bài tương tự.
+) Đề thi của Phòng GD&ĐT Bắc Từ Liêm đưa ra khảo sát học sinh, đề thi rất hay và đầy đủ kiến thức với các mức độ từ VD – VDC có thể đánh giá được kết quả của các em.
Câu 1 (VD) (2,0 điểm).
Cho các biểu thức: $A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}$ và $B = \frac{{2\sqrt x }}{{x – 9}} – \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9.$
1) Tính giá trị của A khi $x = 4.$ 2) Rút gọn biểu thức $M = A:B.$
3) Tìm các giá trị của x để $3\sqrt x + 5 = 2M.$
Câu 2 (VD) (2,0 điểm).
1) Thực hiện phép tính: $3\sqrt 8 – \sqrt {50} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} .$
2) Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt {{x^2} – 6x + 9} = 1$ b) $2\sqrt {12x} – 3\sqrt {3x} + 4\sqrt {48x} = 17.$
Câu 3 (VD) (2,0 điểm).
Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x + 6$ (1) với $m \ne – 1$
1) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi $m = 2.$
2) Gọi đồ thị của hàm số (1) là đường thẳng $\left( d \right)$, tìm m để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 5x + m – 2$ tại một điểm nằm trên trục tung.
3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $3\sqrt 2 .$
Câu 4 (VD) (3,5 điểm).
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.
1) Chứng minh rằng bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng $MO \bot AB$ tại H.
3) Nếu $OM = 2R$ hãy tính độ dài MA theo R và số đo các góc $\angle AMB,\angle AOB$?
4) Kẻ đường kính AD của đường tròn $\left( O \right)$, MD cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là C. Chứng minh rằng $\angle MHC = \angle ADC.$
Câu 5 (VDC) (0,5 điểm).
Cho x, y là các số dương thỏa mãn $x \ge 2y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M với $M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}.$
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Phương pháp:
1) Thay giá trị của $x = 4$ (tmđk) vào biểu thức A để tính.
2) Quy đồng, rút gọn phân thức.
3) Biến đổi để đưa về phương trình tích $f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$
Cách giải:
Cho các biểu thức: $A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}$ và $B = \frac{{2\sqrt x }}{{x – 9}} – \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$
1) Tính giá trị của A khi $x = 4.$
Với $x = 4.$ thỏa mãn điều kiện $x > 0;x \ne 9$
Thay $x = 4$ vào biểu thức $A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}$ ta được:
$A = \frac{6}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 4 – 3} \right)}} = \frac{6}{{2.\left( {2 – 3} \right)}} = \frac{6}{{ – 2}} = – 3$
Vậy khi $x = 4$ thì $A = – 3.$
2) Rút gọn biểu thức $M = A:B$
Điều kiện: $x > 0;x \ne 9$
$M = A:B = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}:\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x – 9}} – \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right)$
$ = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x – 2\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$
$ = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}:\frac{6}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$
$ = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{6}$
$ = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}$
Vậy $M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}$.
3) Tìm các giá trị của x để $3\sqrt x + 5 = 2M.$
Điều kiện: $x > 0.$
$3\sqrt x + 5 = 2M \Leftrightarrow 3\sqrt x + 5 = 2.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}$
$ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {3\sqrt x + 5} \right) = 2\sqrt x + 6$
$ \Leftrightarrow 3x + 5\sqrt x = 2\sqrt x + 6 \Leftrightarrow 3x + 3\sqrt x – 6 = 0$
$ \Leftrightarrow x + \sqrt x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x – 1 = 0\\\sqrt x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = – 2\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$
Vậy $x = 1.$
Câu 2:
Phương pháp:
1) Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,khi\,\,A \ge 0\\ – A\sqrt B \,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..$
2)
a) Tìm điều kiện xác định sau đó giải phương trình bằng phương pháp đưa phương trình về dạng $\left| A \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = – m\end{array} \right.$
b) Tìm điều kiện xác định của phương trình sau đó dùng công thức: $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,khi\,\,A \ge 0\\ – A\sqrt B \,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..$ để giải phương trình.
Cách giải:
1) Thực hiện phép tính: $3\sqrt 8 – \sqrt {50} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} .$
$3\sqrt 8 – \sqrt {50} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} $
$ = 3\sqrt {{2^2}.2} – \sqrt {{5^2}.2} – \left| {\sqrt 2 – 1} \right|$
$ = 3.2\sqrt 2 – 5\sqrt 2 – \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$
$ = 6\sqrt 2 – 5\sqrt 2 – \sqrt 2 + 1$
$ = 1$
2) Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt {{x^2} – 6x + 9} = 1$
Điều kiện xác định: $x \in \mathbb{R}$ (${x^2} – 6x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0$đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$)
$\sqrt {{x^2} – 6x + 9} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2}} = 1$
$ \Leftrightarrow \left| {x – 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 = 1\\x – 3 = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.\left( {tmdk} \right)$
Vậy $S = \left\{ {2;4} \right\}$
b) $2\sqrt {12x} – 3\sqrt {3x} + 4\sqrt {48x} = 17.$
Điều kiện xác định: $x \ge 0$
$2\sqrt {12x} – 3\sqrt {3x} + 4\sqrt {48x} = 17.$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {{2^2}.3x} – 3\sqrt {3x} + 4\sqrt {{4^2}.3x} = 17$
$ \Leftrightarrow 2.2\sqrt {3x} – 3\sqrt {3x} + 4.4.\sqrt {3x} = 17$
$ \Leftrightarrow 4\sqrt {3x} – 3\sqrt {3x} + 16\sqrt {3x} = 17$
$ \Leftrightarrow 17\sqrt {3x} = 17 \Leftrightarrow \sqrt {3x} = 1$
$ \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\left( {tmdk} \right)$
Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}.$
Câu 3:
Phương pháp
1) Vẽ đường thẳng trong mặt phẳng Oxy bằng cách xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
2) Để hai đường thẳng $\left( d \right):y = ax + b$ và $\left( {d’} \right):y = a’x + b’$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $a \ne a’$ và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm $x = 0.$
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành và trục tung.
Sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
| Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x + 6\left( 1 \right)$ với $m \ne – 1$
1) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi $m = 2.$ Với $m = 2$ thì $y = 3x + 6$ Vẽ đồ thị hàm số: $y = 3x + 6$ +) Giao điểm A của đường thẳng $y = 3x + 6$ với trục Ox là: ${y_A} = 0 \Rightarrow 3{x_A} + 6 = 0 \Rightarrow {x_A} = – 2 \Rightarrow A\left( { – 2;0} \right)$ +) Giao điểm B của đường thẳng $y = 3x + 6$ với trục Oy là: ${x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = 3{x_B} + 6 = 6 \Rightarrow B\left( {0;6} \right)$ +) Vẽ đường thẳng $y = 3x + 6$ trong mặt phẳng Oxy: Ta có đường thẳng $y = 3x + 6$ đi qua hai điểm $A\left( { – 2;0} \right);B\left( {0;6} \right)$ Nên đường thẳng $y = 3x + 6$ chính là đường thẳng AB. Ta có hình vẽ bên. |
 |
2) Gọi đồ thị của hàm số $\left( 1 \right)$ là đường thẳng $\left( d \right)$, tìm m để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 5x + m – 2$ tại một điểm nằm trên trục tung.
Để $d:y = \left( {m + 1} \right)x + 6$ cắt đường thẳng $y = 5x + m – 2$ tại một điểm nằm trên trục tung thì $m + 1 \ne 5$ và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm $x = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 5\\\left( {m + 1} \right).0 + 6 = 5.0 + m – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\6 = m – 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 8\left( {tmdk\,\,m \ne – 1} \right)$
Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.
3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $3\sqrt 2 .$
Đồ thị hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x + 6$ với $m \ne – 1$ là đường thẳng cắt Ox tại điểm $A’\left( { – \frac{6}{{m + 1}};0} \right)$ và cắt Oy tại điểm $B\left( {0;6} \right)$
Suy ra: $OA’ = \left| {\frac{{ – 6}}{{m + 1}}} \right| = \frac{6}{{\left| {m + 1} \right|}}$ và $OB = \left| 6 \right| = 6$
Kẻ $OH \bot A’B$ tại H thì OH chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng $\left( d \right)$
Ta có:
| $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{{A’}^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{6}{{\left| {m + 1} \right|}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{16}} = \frac{1}{{\frac{{36}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{36}} \Leftrightarrow \frac{1}{{18}} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 1}}{{36}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{36}} = \frac{{{m^2} + 2m + 1 + 1}}{{36}} \Leftrightarrow 2 = {m^2} + 2m + 2$ $ \Leftrightarrow {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow m\left( {m + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = – 2\end{array} \right.\left( {tmdk} \right)$ Vậy $m \in \left\{ {0; – 2} \right\}$ là giá trị cần tìm. |
 |
Câu 4:
Phương pháp
1) Sử dụng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
2) Sử dụng: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
3) Sử dụng: Định lý Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
4) Sử dụng: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, chứng minh hai tam giác $\Delta MHC$ và $\Delta MDO$ đồng dạng từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau.
Cách giải:
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm $O$ (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB.
1) Chứng minh rằng bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $\left( {O;R} \right)$
$ \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM = 90^\circ $
$ \Rightarrow $ A, B thuộc đường tròn đường kính OM
$ \Rightarrow $ M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Chứng minh rằng $MO \bot AB$ tại H.
MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $\left( {O;R} \right)$
$ \Rightarrow MA = MB$ và MO là tia phân giác của $\angle AMB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó MO đồng thời là đường cao của tam giác cân AMB
Suy ra $MO \bot AB$ tại H.
3) Nếu $OM = 2R$ hãy tính độ dài MA theo R và số đo các góc $\angle AMB,\angle AOB$?
$\angle OAM = 90^\circ \Rightarrow \Delta OAM$vuông tại A
$ \Rightarrow O{M^2} = O{A^2} + M{A^2}$ (định lý Py-ta-go)
$ \Rightarrow M{A^2} = \sqrt {O{M^2} – O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} – {R^2}} = R\sqrt 3 $
Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông OAM ta được:
$\sin \angle AOM = \frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \angle AOM = 60^\circ $
Do MA, MB là các tiếp tuyến của M đến đường tròn $\left( {O;R} \right)$
$ \Rightarrow OM$ là tia phân giác của $\angle AOB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$ \Rightarrow \angle AOB = 2.\angle AOM = 2.60^\circ = 120^\circ .$
4) Kẻ đường kính AD của đường tròn $\left( O \right)$, MD cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là C. Chứng minh rằng $\angle MHC = \angle ADC.$
$\Delta OAM$ vuông tại A có $AH \bot OM \Rightarrow A{M^2} = MH.MO$ (1)
Ta có: $\angle ACD = 90^\circ $ (do AD là đường kính) $ \Rightarrow AC \bot DM$
$\angle OAM = 90^\circ $ hay $\angle DAM = 90^\circ \Rightarrow \Delta ADM$ vuông tại A có $AC \bot DM \Rightarrow A{M^2} = MC.MD$ (2)
Từ (1), (2) $ \Rightarrow MH.MO = MC.MD\left( { = A{M^2}} \right) \Rightarrow \frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}$
Xét $\Delta MHC$ và $\Delta MDO$ có:
$\angle OMD$ chung
$\frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}$ (cmt)
$ \Rightarrow \Delta MHC \sim \Delta MDO$ $\left( {c – g – c} \right)$
$ \Rightarrow \angle MHC = \angle ADC\left( {dpcm} \right)$
Câu 5:
Phương pháp
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: với $a,b > 0$ thì $a + b \ge 2\sqrt {ab} $
Cách giải
Cho x, y là các số dương thỏa mãn $x \ge 2y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M với $M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}.$
Ta có: $x,y > 0;x \ge 2y \Rightarrow \frac{x}{y} \ge 2$
$M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} = \frac{{{x^2}}}{{xy}} + \frac{{{y^2}}}{{xy}} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x}{{4y}} + \frac{y}{x} + \frac{{3x}}{{4y}}$
$ \ge 2\sqrt {\frac{x}{{4y}}.\frac{y}{x}} + \frac{{3x}}{{4y}} = 2.\sqrt {\frac{1}{4}} + \frac{3}{4}.2 = \frac{5}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{4y}} = \frac{y}{x}\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4{y^2}\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2y\\x = – 2y \Leftrightarrow x = 2y\end{array} \right.\\x = 2y\end{array} \right.$
Vậy ${M_{\min }} = \frac{5}{2}$ khi $x = 2y.$
