Đề thi kiểm tra chất lượng học kì 1 Toán 8 Trường THCS & THPT Lương Thế Vinh Hà Nội có đáp án và lời giải chi tiết. Các bạn xem ở dưới.
| TRƯỜNG THCS & THPT
LƯƠNG THẾ VINH – HÀ NỘI |
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM
MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 90 phút |
Mục tiêu:
- Đề thi gồm các câu hỏi tự luận với hai mức độ: vận dụng và vận dụng cao, xoay quanh kiến thức đã học đầu năm học mới.
- Đối với giáo viên: đề thi nhằm phân loại, kiểm tra đánh giá kiến thức nền tảng của học sinh đầu năm học. Từ đó giáo viên chuẩn bị những phương án dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Đối với học sinh: giúp học sinh thử sức, biết được mình đang nắm kiến thức đến đâu, từ đó bổ sung và có kế hoạch học tập, ôn luyện phù hợp.
Câu 1 (VD) (2 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $5{x^2}{y^3} – 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$ b) $xy – 3x – 2y + 6$ c) ${x^2} – 6xy – 4{z^2} + 9{y^2}$
Câu 2 (VD) (2 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
a) ${\left( {x – 2} \right)^2} – {\left( {2x – 1} \right)^2} + \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)$ b) ${\left( {x – 3} \right)^3} – \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9} \right) + \left( {3x – 1} \right)\left( {3x + 1} \right)$
Câu 3 (VD) (2 điểm). Tìm x:
a) ${\left( {x + 3} \right)^2} – x.\left( {x + 5} \right) = 2$ b) ${\left( {5x – 2} \right)^2} + \left( {2 – 5x} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0$ c) ${x^3} + 27 + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 9} \right) = 0$
Câu 4 (VD) (3,5 điểm). Hình học:
Cho $\Delta ABC$ là tam giác nhọn, có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E sao cho $AD = DE = EC$. AM cắt BD tại I.
a) Chứng minh: tứ giác BDEM là hình thang
b) Chứng minh: I là trung điểm của AM.
c) Chứng minh: $BI = 3DI$
d) Trên tia đối của tia CB lấy hai điểm P và Q sao cho $CP = PQ = CM$. Chứng minh: ME, AP, DQ đồng quy tại một điểm.
Câu 5 (VDC) (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $A = 2{x^2} + 10{y^2} – 6xy – 6x – 2y + 16$
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Phương pháp:
a) Phương pháp đặt nhân tử chung, tìm ra ước chung và chọn chúng làm nhân tử.
b) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử kết hợp với dùng hằng đẳng thức.
Cách giải:
a) $5{x^2}{y^3} – 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3} = 5{x^2}{y^3}.1 – 5{x^2}{y^3}.5.x.y + 5{x^2}{y^3}.2.x$
$ = 5{x^2}{y^3}\left( {1 – 5xy + 2x} \right)$
b) $xy – 3x – 2y + 6 = \left( {xy – 3x} \right) + \left( { – 2y + 6} \right)$
$ = x\left( {y – 3} \right) – 2\left( {y – 3} \right)$
$ = \left( {y – 3} \right)\left( {x – 2} \right)$
c) $\left( {{x^2} – 6xy – 4{z^2} + 9{y^2}} \right) – 4{{\rm{z}}^2}$
$ = \left[ {{x^2} – 2.x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right] – {\left( {2z} \right)^2}$
$ = {\left( {x – 3y} \right)^2} – {\left( {2z} \right)^2}$
$ = \left( {x – 3y + 2z} \right)\left( {x – 3y – 2z} \right)$
Câu 2:
Phương pháp:
a) Khai triển hằng đẳng thức ${\left( {x – 2} \right)^2};\,{\left( {2x – 1} \right)^2}$ và nhân 2 đa thức $\left( {3x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)$ sau đó phá ngoặc và rút gọn đa thức.
b) Khai triển hằng đẳng thức ${\left( {x – 3} \right)^2}$; áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương và hiệu hai bình phương để nhân 2 đa thức $\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9} \right)$ và 2 đa thức $\left( {3x – 1} \right)\left( {3x + 1} \right)$; sau đó phá ngoặc và rút gọn đa thức.
Cách giải:
a) ${\left( {x – 2} \right)^2} – {\left( {2x – 1} \right)^2} + \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)$
$ = {x^2} – 4x + 4 – 4{x^2} + 4x – 1 + 3{x^2} – 15x – x + 5$
$ = \left( {{x^2} – 4{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( { – 4x + 4x – 15x – x} \right) + \left( {4 – 1 + 5} \right)$
$ = – 16x + 8$
b) ${\left( {x – 3} \right)^3} – \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9} \right) + \left( {3x – 1} \right)\left( {3x + 1} \right)$
$ = \left( {{x^3} – 3.{x^2}.3 + 3.x{{.3}^2} – {3^3}} \right) – \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3.x + {3^2}} \right) + \left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} – {1^2}} \right]$
$ = {x^3} – 9{x^2} + 27x – 27 – \left( {{x^3} + {3^3}} \right) + 9{x^2} – 1$
$ = {x^3} – 9{x^2} + 27x – 27 – {x^3} – 27 + 9{x^2} – 1$
$ = \left( {{x^3} – {x^3}} \right) + \left( { – 9{x^2} + 9{x^2}} \right) + 27x + \left( { – 27 – 27 – 1} \right)$
$ = 27x – 55$
Câu 3:
Phương pháp:
a) Rút gọn vế trái.
b) Phân tích vế trái thành nhân tử chung.
c) Phân tích vế trái thành nhân tử chung.
Cách giải:
a) ${\left( {x + 3} \right)^2} – x.\left( {x + 5} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + \left( { – {x^2} – 5x} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 – {x^2} – 5x = 2$
$ \Leftrightarrow x + 9 = 2$
$ \Leftrightarrow x = 2 – 9$
$ \Leftrightarrow x = – 7$
b) ${\left( {5x – 2} \right)^2} + \left( {2 – 5x} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {5x – 2} \right)^2} – \left( {5x – 2} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {5x – 2} \right)\left[ {\left( {5x – 2} \right) – \left( {3x + 1} \right)} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {5x – 2} \right)\left( {5x – 2 – 3x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {5x – 2} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x – 2 = 0\\2x – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{5}\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.$
c) ${x^3} + 27 + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {3^3}} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x – 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9 + x – 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 2.x} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 3 = 0\\x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 3\\x = 2\end{array} \right.$
Câu 4:
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất đường trung bình, tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang.
b) Sử dụng tính chất bắc cầu.
c) Áp dụng tính chất đường trung bình.
d) Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó. $DF \equiv DQ$ hay F thuộc DQ.
Cách giải:
a) Xét $\Delta CBD$ có M là trung điểm BC, E là trung điểm DC
⇒ ME là đường trung bình của $\Delta CBD$
$ \Rightarrow ME\parallel BD;\,ME = \frac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình)
⇒ Tứ giác BDEM là hình thang (tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang)
b) Ta có: $ME\parallel BD \Rightarrow ID\parallel ME$
Mà: D là trung điểm của AE
⇒ I là trung điểm của AM
c) Ta có: $ID = \frac{1}{2}ME$ (tính chất đường trung bình) $ \Rightarrow ID = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}BD\left( {ME = \frac{1}{2}BD\,(cmt)} \right)$
$BI = BD – DI = BD – \frac{1}{2}BD = \frac{3}{4}BD$
$ \Rightarrow BI = 3ID$
d) Gọi $F = ME \cap AP$
Xét $\Delta AMP$ có AC là đường trung tuyến, $AE = \frac{2}{3}AC$ ⇒ E là trọng tâm $\Delta AMP$ $ \Rightarrow EF = \frac{1}{2}ME$
$EF\parallel ID\,(do\,ME\parallel ID:\,cmt);\,ID = EF = \frac{1}{2}ME$
⇒ IDFE là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)
$ \Rightarrow IE\parallel DF\,(1)$
Ta có: $BI = \frac{3}{4}BD$ (chứng minh trên); $BP = \frac{3}{4}BQ$
$ \Rightarrow IP\parallel DQ$ (định lý Ta-lét đảo trong tam giác)
IP là đường trung tuyến trong $\Delta AMP$ $ \Rightarrow IP \equiv IE \Rightarrow IE\parallel DQ\,(2)$
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow DF \equiv DQ$ hay $F \in DQ$
Vậy ME, DQ, AP đồng quy tại F.
Câu 5:
Phương pháp:
Đưa biểu thức về dạng: $A = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + a$
Khi đó biểu thức A min khi $f\left( x \right) = 0$ và GTNN của A chính bằng a.
Cách giải:
$A = 2{x^2} + 10{y^2} – 6xy – 6x – 2y + 16$
$ = {x^2} – 6xy + 9{y^2} + {x^2} – 6x + 9 + {y^2} – 2y + 1 + 6$
$ = {\left( {x – 3y} \right)^2} + {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + 6$
Ta có: ${\left( {x – 3y} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y – 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi x, y
$A\,\min \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 3y} \right)^2} = 0\\{\left( {x – 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y – 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3y = 0\\x – 3 = 0\\y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.$
Vậy GTNN của A là 6 khi $x = 3$ và $y = 1$.
