Đề Thi Toán 10 Học kì 1 Trường THPT Đào Duy Từ Hà Nội Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) Phá dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình thu được.

b) Đặt $t = {x^2}$ và giải phương trình.

c) Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích.

Cách giải:

a) $\left| {1 – 2x} \right| – \left| {x + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \left| {2x – 1} \right| – \left| {x + 1} \right| = 7$

+) Nếu $x \ge \frac{1}{2}$ thì:

$\left| {2x – 1} \right| – \left| {x + 1} \right| = 7$

$ \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right) – \left( {x + 1} \right) = 7$

$ \Leftrightarrow 2x – 1 – x – 1 = 7$

$ \Leftrightarrow x – 2 = 7$

$ \Leftrightarrow x = 9$ (tm)

+) Nếu $ – 1 < x < \frac{1}{2}$ thì:

$\left| {2x – 1} \right| – \left| {x + 1} \right| = 7$

$ \Leftrightarrow \left( { – 2x + 1} \right) – \left( {x + 1} \right) = 7$

$ \Leftrightarrow – 2x + 1 – x – 1 = 7$

$ \Leftrightarrow – 3x = 7$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{7}{3}$ (ktm)

+) Nếu $x \le – 1$ thì:

$\left| {2x – 1} \right| – \left| {x + 1} \right| = 7$

$ \Leftrightarrow \left( { – 2x + 1} \right) – \left( { – x – 1} \right) = 7$

$ \Leftrightarrow – 2x + 1 + x + 1 = 7$

$ \Leftrightarrow – x + 2 = 7$ $ \Leftrightarrow x = – 5$ (tm)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {9; – 5} \right\}$

b) ${x^4} + 2{x^2} – 3 = 0$

Đặt $t = {x^2} \ge 0$ ta được:

${t^2} + 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t – 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1{\rm{ }}(tm)\\t = – 3{\rm{ }}(ktm)\end{array} \right.$

Suy ra ${x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { \pm 1} \right\}$.

c) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y{\rm{ (1)}}\\{{\rm{y}}^2} = 3y + 2x\end{array} \right.$

Trừ hai phương trình vế với vế ta được:

${x^2} – {y^2} = x – y \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) – \left( {x – y} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – y = 0\\x + y – 1 = 0\end{array} \right.$

+) Nếu $x – y = 0 \Leftrightarrow y = x$ thay vào (1) ta được:

${x^2} = 3x + 2x \Leftrightarrow {x^2} – 5x = 0$

$ \Leftrightarrow x\left( {x – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.$

+) Nếu $x + y – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 – x$ thay vào (1) ta được:

${x^2} = 3x + 2\left( {1 – x} \right) \Leftrightarrow {x^2} = x + 2$

$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow y = 3\\x = 2 \Rightarrow y = – 1\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {5;5} \right),\left( { – 1;3} \right),\left( {2; – 1} \right)} \right\}$.

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết hàm số bậc hai:

– Trục đối xứng $x = – \frac{b}{{2a}}$.

– Điểm $M \in \left( P \right)$ thì tọa độ của M thỏa mãn công thức hàm số của $\left( P \right)$.

Cách giải:

– Trục đối xứng $x = – 2$ nên $ – \frac{b}{{2a}} = – 2 \Leftrightarrow b = 4a$ (1)

– Đồ thị đi qua $A\left( { – 1;9} \right)$ nên $9 = a.{\left( { – 1} \right)^2} + b.\left( { – 1} \right) + 3 \Leftrightarrow a – b = 6$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có: $a – 4a = 6 \Leftrightarrow – 3a = 6 \Leftrightarrow a = – 2$.

Suy ra $b = 4.\left( { – 2} \right) = – 8$.

Vậy hàm số $y = – 2{x^2} – 8x + 3$.

Câu 3 (VDC):

Phương pháp:

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ làm VTPT là $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Cách giải:

a) Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {7; – 1} \right)$.

Đường thẳng qua $A\left( {4;2} \right)$ và song song BC nên nhận $\overrightarrow n = \left( {1;7} \right)$ làm VTPT.

Vậy $1\left( {x – 4} \right) + 7\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 7y – 18 = 0$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác MNP ta có:

$\frac{{NP}}{{\sin M}} = \frac{{MN}}{{\sin P}} \Rightarrow \frac{7}{{\sin {{60}^{\rm{o}}}}} = \frac{6}{{\sin P}} \Leftrightarrow \sin P = \frac{{6.\sin {{60}^{\rm{o}}}}}{7} = \frac{{3\sqrt 3 }}{7} \Rightarrow P \approx {48^{\rm{o}}}$.

Lại có $M + N + P = {180^{\rm{o}}}$ nên $N = {180^{\rm{o}}} – M – P \approx {180^{\rm{o}}} – {60^{\rm{o}}} – {48^{\rm{o}}} = {72^{\rm{o}}}$.

Vậy $P \approx {48^{\rm{o}}},N \approx {72^{\rm{o}}}$.