Đề Thi Toán 10 Học Kì 1 Trường THPT Nông Cống 3 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 1: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc cộng trừ vectơ để biến đổi $\overrightarrow {AG} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {BA} $ và $\overrightarrow {BC} $

G là trọng tâm của tam giác ABC $ \Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 $

Cách giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC $ \Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = 0$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = – \overrightarrow {BG} – \overrightarrow {CG} = – \overrightarrow {BA} – \overrightarrow {AG} – \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {BA} – \overrightarrow {AG} = \overrightarrow {BC} – 2\overrightarrow {BA} – 2\overrightarrow {AG} $

$ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} = – 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{{ – 2}}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} $

Câu 2: Đáp án B

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện của $m$ để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

+ Gọi giao điểm của 2 đường thẳng là điểm $A\left( {x;y} \right) \Rightarrow OA = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $

Cách giải:

Hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ cắt nhau $ \Leftrightarrow \frac{m}{3} \ne \frac{3}{m} \Leftrightarrow m \ne \pm 3.$

Tọa độ giao điểm A của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}mx + 3y – 3 = 0\\3x + my – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 3y – 3 = 0\\\left( {m – 3} \right)x = \left( {m – 3} \right)y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 3y – 3 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{{m + 3}}$

$ \Rightarrow OA = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{m + 3}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{m + 3}}} \right)}^2}} = \sqrt {2.\frac{9}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\left| {m + 3} \right|}}$

Câu 3: Đáp án C

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ là parabol có đỉnh $I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Hoành độ của đỉnh $I$ là ${x_I} = \frac{4}{{2.2}} = 1 \Rightarrow {y_I} = 2.1 – 4.1 + 1 = – 1.$

$ \Rightarrow $ Tọa độ đỉnh của Parabol $y = 2{x^2} – 4x + 1$ là $I\left( {1; – 1} \right)$

Câu 4: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau để làm bài toán:

$\overrightarrow i = \left( {1;0} \right);\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right)$

$m\overrightarrow a + \overrightarrow b = m\left( { – 1;2} \right) + \left( {3; – 5} \right) = \left( {m.\left( { – 1} \right) + 3;m.2 – 5} \right) = \left( { – m + 3;2m – 5} \right)$

Để $m\overrightarrow a + \overrightarrow b $ vuông góc với $\overrightarrow i + \overrightarrow j \Leftrightarrow \left( { – m + 3;2m – 5} \right).\left( {1;1} \right) = 0 \Leftrightarrow – m + 3 + 2m – 5 = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Câu 5: Đáp án A

Phương pháp:

Phủ định của một mệnh đề A, là một mệnh đề, kí hiệu là $\overline A .$ Hai mệnh đề A và $\overline A $ có những khẳng định trái ngược nhau.

Nếu A đúng thì $\overline A $ sai.

Nếu A sai thì $\overline A $ đúng.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\exists n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ chia hết cho 3” là $\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ không chia hết cho 3”.

Câu 6: Đáp án B

Phương pháp:

Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right).$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

Cách giải:

$\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { – 3; – 2} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \left( { – 2; – 1} \right) – \left( { – 3; – 2} \right) = \left( {1;1} \right).$

Câu 7: Đáp án C

Phương pháp:

Thay từng cặp số ở đáp án vào hệ phương trình đã cho. Cặp số nào thỏa mãn hệ thì là nghiệm của hệ và ngược lại.

Cách giải:

+ Đáp án A: Thay cặp số $\left( {1;1} \right)$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {2.1^2} = 3\\1 + {1^2} + 1.1 = 3 \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1;1} \right)$ không là nghiệm của hệ phương trình $ \Rightarrow $ loại đáp án A.

+ Đáp án B: Thay cặp số $\left( { – 1;1} \right)$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( 1 \right)^2} + {2.1^2} = 3\\ – 1 + {1^2} – 1.1 = – 1 \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( { – 1;1} \right)$ không là nghiệm của hệ phương trình $ \Rightarrow $ loại đáp án B.

+ Đáp án C: Thay cặp số $\left( {1; – 1} \right)$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + 2.{\left( { – 1} \right)^2} = 3\\1 + {\left( { – 1} \right)^2} – 1.1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1; – 1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $ \Rightarrow $ chọn đáp án C.

Câu 8: Đáp án B

Phương pháp:

$\overrightarrow i = \left( {1;0} \right);\overrightarrow j = \left( {0;1} \right)$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\end{array} \right.$.

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow ka = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right)$

$m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \left( {m.\left( { – 1} \right) + n.3;m.2 – n.5} \right) = \left( { – m + 3n;2m – 5n} \right)$

$m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – m + 3n = 1\\2m – 5n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 3\end{array} \right..$

Câu 9: Đáp án C

Phương pháp:

Thế phương trình $\left( 2 \right)$ vào phương trình $\left( 1 \right)$, đưa phương trình $\left( 1 \right)$ về dạng phương trình bậc hai một ẩn sau đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \Delta = 0$

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2{y^2} = 3\\x + y = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 – y\\{\left( {m + 1 – y} \right)^2} + 2{y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 – y\\{\left( {m + 1} \right)^2} – 2\left( {m + 1} \right)y + {y^2} + 2{y^2} = 3\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 – y\\3{y^2} – 2\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} – 3 = 0\left( * \right)\end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \Delta ‘ = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\m + 1 = – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{3\sqrt 2 – 2}}{2}\\m = \frac{{ – 3\sqrt 2 – 2}}{2}\end{array} \right.$

Câu 10: Đáp án B

Phương pháp:

G là trọng tâm của tam giác ABC $ \Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 .$

Cách giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC $ \Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 .$

$ \Rightarrow \overrightarrow {CG} = – \overrightarrow {AG} – \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} $

Câu 11: Đáp án D

Phương pháp:

G là trọng tâm tam giác ABC. M, N, P là trung điểm các cạnh của tam giác ABC thì G cũng là trọng tâm tam giác MNP.

G là trọng tâm của tam giác ABC $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..$

Cách giải:

G là trọng tâm tam giác ABC $ \Rightarrow $ G cũng là trọng tâm tam giác MNP

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{ – 3 + 5 + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{5 – 6 + 0}}{3} = – \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; – \frac{1}{3}} \right)$

Câu 12: Đáp án A

Phương pháp:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0$

Cách giải:

Phương trình $2{x^2} – 4x + 1 + {m^2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0$

$ \Leftrightarrow {2^2} – 2\left( {1 + {m^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2{m^2} – 2 < 0 \Leftrightarrow {m^2} < 1 \Leftrightarrow – 1 < m < 1$

Câu 13: Đáp án B

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó.

Cách giải:

Ta có: $625 = {25^2} \Rightarrow $ số 625 là một số chính phương.

Vậy: “Số 625 là một số chính phương” là mệnh đề.

Câu 14: Đáp án B

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình của parabol, giải hệ phương trình để tìm a, b, c ta lập được phương trình của parabol.

Cách giải:

Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $A\left( {0; – 1} \right),B\left( {1; – 1} \right),C\left( { – 1;1} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = – 1\\a + b + c = – 1\\a – b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 1\\c = – 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = {x^2} – x – 1.$

Câu 15: Đáp án A

Phương pháp:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ là D.

+ Nếu $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$ có $f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm chẵn.

+ Nếu $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$ có $f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm lẻ.

Cách giải:

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {2x – 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|$ có TXĐ $D = R.$

Ta có $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$ và

$f\left( { – x} \right) = \left| { – 2x – 1} \right| + \left| { – 2x + 1} \right| = \left| { – \left( {2x + 1} \right)} \right| + \left| { – \left( {2x – 1} \right)} \right| = \left| {2x – 1} \right| + \left| {2x + 1} \right| = f\left( x \right)$

Vậy hàm số $y = \left| {2x – 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|$ là hàm chẵn trên R.

Câu 16: Đáp án A

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, từ đó tính A.

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} – 3xy = 19{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow x = 2 – y$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta được: ${\left( {2 – y} \right)^2} + {y^2} – 3\left( {2 – y} \right)y = 19$

$ \Leftrightarrow 4 – 4y + {y^2} + {y^2} – 6y + 3{y^2} = 19 \Leftrightarrow 5{y^2} – 10y – 15 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = – 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow A = {3^2} – \left( { – 1} \right) = 10\\y = 3 \Rightarrow x = – 1 \Rightarrow A = {\left( { – 1} \right)^2} – 3 = 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow A = 10$

Câu 17: Đáp án B

Phương pháp:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $

Cách giải:

C là điểm thuộc trục tung $ \Rightarrow C\left( {0;x} \right).$

$\overrightarrow {AB} = \left( { – 2005;2005} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { – 2107;x – 12} \right)$

Để A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left( { – 2017;x – 12} \right) = k\left( { – 2005;2005} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2017 = k.\left( { – 2005} \right)\\x – 12 = 2005k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{2017}}{{2005}}\\x = \frac{{2005.2017}}{{2005}} + 12 = 2029\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {0;2029} \right).$

Câu 18: Đáp án B

Phương pháp:

+ Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|$ và đường thẳng $y = m.$

+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|$ sau đó biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số rồi chọn đáp án đúng.

Cách giải:

$\left| {{x^2} – 2x} \right| – m = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 2x} \right| = m{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|$ và đường thẳng $y = m.$

Khảo sát hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|:$

TXĐ: $D = R$

Vẽ đồ thị của hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|$ bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của hàm số $y = {x^2} – 2x.$

Xét hàm số $y = {x^2} – 2x$ có đỉnh là $I\left( {1; – 1} \right)$

Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|:$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x} \right|$ tại 4 điểm phân biệt

$ \Leftrightarrow 0 < m < 1.$

Câu 19: Đáp án D

Phương pháp:

Khảo sát hàm số $y = f\left( x \right),$ lập bảng biến thiên và kiểm chứng mệnh đề.

Cách giải:

+ Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = – {x^2} + 2x + 1$ như sau:

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh là $I\left( {1;2} \right)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x = 1.$

$ \Rightarrow $ đáp án A và C sai.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

Ta có: $1 < {2^{2017}} < {3^{2017}} \Rightarrow f\left( {{2^{2017}}} \right) > f\left( {{3^{2017}}} \right)$