Đề thi Toán 11 học kì 1 Sở Giáo Dục & Đào Tạo trường thpt Kim Liên có đáp án và lời giải chi tiết gồm 25 câu trắc nghiệm. Các bạn xem ở dưới.
| SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT KIM LIÊN |
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
MÔN: TOÁN – Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Mã đề 114 |
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm – Thời gian làm: 45 phút)
Câu 1 (TH). Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A. ${\sin ^2}x + \sin x – 6 = 0$ B. $\cos x = \frac{\pi }{2}$
C. ${\cot ^2}x – \cot x + 5 = 0$ D. $2\cos 2x – \cos x – 3 = 0$
Câu 2 (NB). Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \sin x$.
A. $T = \pi $ B. $T = 0$ C. $T = 2\pi $ D. $T = \frac{\pi }{2}$
Câu 3 (TH). Tìm hệ số của ${x^3}$ trong khai triển của biểu thức ${\left( {1 – 2x} \right)^8}$
A. 448. B. 56. C. $ – 56$ D. $ – 448$
Câu 4 (VD). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình $3x – y – 3 = 0$. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $I\left( {2;3} \right)$ tỉ số $k = – 1$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v \left( {1;3} \right)$ biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Viết phương trình đường thẳng d’.
A. $3x – y + 3 = 0$ B. $3x + y + 3 = 0$ C. $3x + y – 3 = 0$ D. $3x – y – 3 = 0$
Câu 5 (VD). Đội tuyển học sinh giỏi môn toán của trường THPT Kim Liên gồm có: 5 học sinh khối 10; 5 học sinh khối 11; 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 10 học sinh từ đội tuyển đi tham dự kì thi AMC. Có bao nhiêu cách chọn được học sinh của cả ba khối và có nhiều nhất hai học sinh khối 10?
A. 50. B. 500. C. 501. D. 502.
Câu 6 (TH). Có bao nhiêu số có hai chữ số mà tất cả các chữ số đều là số lẻ?
A. 25. B. 20. C. 10. D. 50.
Câu 7 (VD). Tìm số nghiệm trong khoảng $\left( { – \pi ;\pi } \right)$ của phương trình $\sin x = \cos 2x$.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 8 (TH). Tìm tập giá trị của hàm số $y = \cos \left( {2019x – \frac{\pi }{4}} \right)$.
A. $\left[ { – 1;1} \right]$ B. $\left[ { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$ C. $\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$ D. $\left[ { – 2019;2019} \right]$
Câu 9 (TH). Tính giá trị của tổng $T = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + … + C_{2019}^{2018}$.
A. $T = {2^{2019}}$ B. $T = {2^{2019}} – 2$ C. $T = {2^{2019}} – 1$ D. $T = {3^{2019}}$
Câu 10 (TH). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v \left( {3; – 2} \right)$ biến đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2y = 0$ thành đường tròn $\left( {C’} \right)$. Tìm tọa độ I’ của đường tròn $\left( {C’} \right)$.
A. $I’\left( {3; – 3} \right)$ B. $I’\left( { – 3;1} \right)$ C. $I’\left( {3; – 1} \right)$ D. $I’\left( { – 3;3} \right)$
Câu 11 (TH). Phương trình $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1$ tương đương với phương trình nào sau đây?
A. $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ B. $\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ C. $\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$ D. $\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$
Câu 12 (VD). Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
A. 156. B. 240. C. 180. D. 106.
Câu 13 (TH). Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan x$.
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$ B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$ C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$ D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$
Câu 14 (TH). Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. $y = x\sin x$ B. $y = {\sin ^2}x$ C. $y = \cos 3x$ D. $y = 2x\cos 2x$
Câu 15 (TH). Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$?
A. $y = \cos x$ B. $y = \sin x$ C. $y = \cot x$ D. $y = \tan x$
Câu 16 (TH). Cho các hình vẽ sau:
Trong các hình trên, hình nào có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?
A. Hình 3. B. Hình 2 và hình 3. C. Hình 1. D. Hình 1 và hình 4.
Câu 17 (NB). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau, không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Câu 18 (NB). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước.
D. Qua bốn điểm phân biệt bất kỳ có duy nhất một mặt phẳng.
Câu 19 (NB). Cho hai đường tròn bằng nhau $\left( {I;R} \right)$ và $\left( {I’;R’} \right)$ với tâm I và I’ phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$?
A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 20 (NB). Giải phương trình $\cot x = – 1$.
A. $x = – \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. B. $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \pi + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. D. $x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 21 (VD). Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số sau lớn hơn chữ số trước?
A. $C_9^6$. B. $A_9^6$. C. $A_{10}^6$. D. $C_{10}^6$.
Câu 22 (VDC). Cho tứ diện ABCD có $AB = BC = AC = CD = DB = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi M là trung điểm của AB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Đường thẳng AO cắt mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$ tại G. Tính diện tích tam giác GAD.
A. $\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}$. B. $\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}$. C. $\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}$. D. $\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}$.
Câu 23 (VD). Đề kiểm tra một tiết môn toán của lớp 12A có 25 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để học sinh đó làm đúng đáp án 15 câu.
A. $\frac{{15}}{{{4^{25}}}}$. B. $\frac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{25}}}}$. C. $\frac{{C_{25}^{15}{{.3}^{15}}}}{{{4^{25}}}}$. D. $\frac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{20}}}}$.
Câu 24 (VD). Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $\left| {\sin x – \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1$ trên đường tròn lượng giác.
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 25 (VD). Khai triển đa thức $P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + … + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}$. Tìm hệ số ${a_k}\left( {0 \le k \le 10;k \in \mathbb{N}} \right)$ lớn nhất trong khai triển trên.
A. $\frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7$. B. $1 + \frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7$. C. $\frac{{{2^6}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^6$. D. $\frac{{{2^8}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^8$.
PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 điểm – Thời gian làm bài : 45 phút)
Câu 1. (1,5 điểm)
a) (VD) Giải phương trình ${\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = – 2$.
b) (VDC) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: ${\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m$.
Câu 2 (VD). (1 điểm) Ban cán sự lớp 11A trường THPT Kim Liên có 2 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Nhân dịp kỉ niệm 45 năm ngày thành lập trường, giáo viên chủ nhiệm lớp chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong ban cán sự tới dự chương trình “45 NĂM – SEN VÀNG HỘI NGỘ”. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 3. (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang $\left( {AB//CD,AB = 2CD} \right)$. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.
b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với $mp\left( {SBD} \right)$. Tính tỉ số $\frac{{AK}}{{AM}}$.
Đáp án
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
| 1-D | 2-C | 3-D | 4-D | 5-B | 6-A | 7-A | 8-A | 9-B | 10-C |
| 11-B | 12-A | 13-A | 14-D | 15-B | 16-C | 17-A | 18-B | 19-D | 20-B |
| 21-A | 22-B | 23-B | 24-D | 25-A |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D
Phương pháp:
Đưa các phương trình về dạng phương trình tích.
Sử dụng các phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = a;\cos x = a,\tan x = b,\cot x = b$ với $ – 1 \le a \le 1$.
Cách giải:
Đáp án A: ${\sin ^2}x + \sin x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right)\left( {\sin x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = – 3\left( {VN} \right)\\\sin x = 2\;\left( {VN} \right)\end{array} \right.$.
Nên loại A.
Đáp án B: $\cos x = \frac{\pi }{2}$ vô nghiệm vì $\frac{\pi }{2} > 1$, do đó loại B.
Đáp án C: ${\cot ^2}x – \cot x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\cot x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} = 0$ (vô nghiệm) nên loại C.
Đáp án D: $\begin{array}{l}2\cos 2x – \cos x – 3 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) – \cos x – 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x – \cos x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = – 1\\\cos x = \frac{5}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$
Câu 2: Đáp án C
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \sin x$.
Cách giải
Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi $.
Câu 3: Đáp án D
Phương pháp
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton: ${\left( {a – b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} $
Từ đó tìm hệ số của ${x^3}$ trong khai triển.
Cách giải:
Ta có: ${\left( {1 – 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 2} \right)}^k}} {x^k}$.
Số hạng chứa ${x^3}$ ứng với $k = 3$.
Suy ra hệ số cần tìm là: $C_8^3.{\left( { – 2} \right)^3} = – 448$.
Câu 4: Đáp án D
Phương pháp
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I\left( {a;b} \right)$ biến $M\left( {x;y} \right)$ thành $M’\left( {x’;y’} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x’ = kx + \left( {1 – k} \right)a\\y’ = ky + \left( {1 – k} \right)b\end{array} \right.$
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)$ biến $M\left( {x;y} \right)$ thành $M’\left( {x’;y’} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.$.
Cách giải
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in d:3x – y – 3 = 0$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của $M\left( {x;y} \right)$ qua phép vị tự tâm $I\left( {2;3} \right)$ tỉ số $k = – 1$.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}x’ = – x + \left( {1 – \left( { – 1} \right)} \right).2\\y’ = – y + \left( {1 – \left( { – 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – x’ + 4\\y = – y’ + 6\end{array} \right.$ nên $M\left( { – x’ + 4; – y’ + 6} \right)$
Mà $M\left( { – x’ + 4; – y’ + 6} \right) \in d:3x – y – 3 = 0$ nên ta có $\begin{array}{l}3\left( { – x’ + 4} \right) – \left( { – y’ + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow – 3x’ + 12 + y’ – 6 – 3 = 0\\ \Leftrightarrow – 3x’ + y’ + 3 = 0 \Leftrightarrow 3x’ – y’ – 3 = 0\end{array}$
Do đó, ảnh của đường thẳng $d:3x – y – 3 = 0$ qua phép vị tự tâm $I\left( {2;3} \right)$ tỉ số $k = – 1$ là đường thẳng $d’:3x – y – 3 = 0$ .
Ta tìm ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v \left( {1;3} \right)$.
Gọi $N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d’:3x – y – 3 = 0$ và $N’\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là ảnh của qua ${T_{\overrightarrow v }}$.
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} – 1\\{y_1} = {y_2} – 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} – 1;{y_2} – 3} \right)$.
Thay tọa độ $N\left( {{x_2} – 1;{y_2} – 3} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d’:3x – y – 3 = 0$ ta được: $3\left( {{x_2} – 1} \right) – \left( {{y_2} – 3} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x_2} – {y_2} – 3 = 0$
Vậy ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow v \left( {1;3} \right)$ là đường thẳng ${d_1}:3x – y – 3 = 0$.
Hay đường thẳng cần tìm là: ${d_1}:3x – y – 3 = 0$.
Câu 5: Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về tổ hợp và hai quy tắc đếm cơ bản.
Cách giải
TH1: Đội tuyển gồm 1 học sinh khối 10 và 9 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.
Số cách chọn là: $C_5^1.C_{10}^9 = 50$ cách.
TH2: Đội tuyển gồm 2 học sinh khối 10 và 8 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.
Số cách chọn là: $C_5^2.C_{10}^8 = 450$ cách.
Vậy có $450 + 50 = 500$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 6: Đáp án A
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân.
Cách giải
Tập hợp các chữ số lẻ là $M = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$
Gọi số cần tìm là $\overline {ab} \left( {a;b \in M} \right)$
Khi đó a có 5 cách chọn và b có 5 cách chọn nên có $5.5 = 25$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 7: Đáp án A
Phương pháp
Đưa phương trình về dạng cơ bản: $\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\f\left( x \right) = – g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.$.
Cách giải
Ta có: $\sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} – x + k2\pi \\2x = x – \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$.
Vì $x \in \left( { – \pi ;\pi } \right)$ nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}; – \frac{\pi }{2}} \right\}$.
Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 8: Đáp án A
Phương pháp
Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị $\left[ { – 1;1} \right]$.
Cách giải
Ta có tập giá trị của hàm số $y = \cos \left( {2019x – \frac{\pi }{4}} \right)$ là $\left[ { – 1;1} \right]$.
Câu 9: Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng: ${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} $.
Thay x và n bởi các số thích hợp để xuất hiện tổng cần tìm.
Cách giải
Ta có: ${\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{x^k}} $
Thay $x = 1$ ta có: $\begin{array}{l}{2^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + … + C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{2018}\\ \Rightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + … + C_{2019}^{2018} = {2^{2019}} – C_{2019}^0 – C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} – 2\end{array}$
Câu 10: Đáp án C
Phương pháp
Xác định tâm I của đường tròn $\left( C \right)$.
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)$ biến $M\left( {x;y} \right)$ thành $M’\left( {x’;y’} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.$.
Cách giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;1} \right)$.
Ảnh của $I\left( {0;1} \right)$ qua tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v \left( {3; – 2} \right)$ là $I’\left( {x’;y’} \right)$ là tâm của đường tròn $\left( {C’} \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x’ = 0 + 3 = 3\\y’ = 1 + \left( { – 2} \right) = – 1\end{array} \right. \Rightarrow I’\left( {3; – 1} \right)$.
Câu 11: Đáp án B
Phương pháp
Chia cả hai vế cho 2 sau đó sử dụng công thức $\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$ và $\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$.
Cách giải
Ta có: $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos x + \sin \frac{\pi }{3}\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$.
Câu 12: Đáp án A
Phương pháp
Sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản.
Cách giải
Gọi số cần tìm là $\overline {abcd} $.
TH1: $d = 0$ thì:
a có 5 cách chọn.
b có 4 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
Suy ra có $1.5.4.3 = 60$ số chẵn có chữ số tận cùng là 0.
TH2: $d \in \left\{ {2;4} \right\}$ thì d có 2 cách chọn.
a có 4 cách chọn.
b có 4 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
Suy ra có $2.4.4.3 = 96$ số.
Vậy lập được tất cả $96 + 60 = 156$ số thỏa mãn đề bài.
Câu 13: Đáp án A
Phương pháp
Hàm số $y = \tan x$ xác định khi $\cos x \ne 0$
Cách giải
Hàm số $y = \tan x$ xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $.
Nên TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Câu 14: Đáp án D
Phương pháp
Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên D thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\\f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\end{array} \right.$ thì nó là hàm số lẻ.
Cách giải
Xét hàm số $y = f\left( x \right) = 2x\cos 2x$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Nên $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$.
Lại có $f\left( { – x} \right) = 2\left( { – x} \right).\cos \left[ {2\left( { – x} \right)} \right] = – 2x\cos \left( { – 2x} \right) = – 2x\cos 2x = – f\left( x \right)$.
Nên hàm số $y = 2x\cos 2x$ là hàm số lẻ.
Câu 15: Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng tính đơn điệu của các hàm lượng giác cơ bản.
Cách giải
Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.
Câu 16: Đáp án C
Phương pháp
Sử dụng định nghĩa hình có trục đối xứng và hình có tâm đối xứng.
Cách giải
Hình 1 vừa có trục đối xứng và tâm đối xứng.
Hình 2 và hình 3 có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.
Hình 4 có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng.
Câu 17: Đáp án A
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng chéo nhau.
Cách giải
Khẳng định: Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau là sai vì chúng có thể song song với nhau.
Câu 18: Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về cách xác định mặt phẳng trong không gian.
Cách giải
Đáp án A: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện ba điểm này không thẳng hàng.
Đáp án B: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước là đúng.
Đáp án C: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện điểm đó nằm ngoài đường thẳng.
Đáp án D: Sai.
Câu 19: Đáp án D
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về phép vị tự.
Cách giải
Có duy nhất 1 phép vị tự biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$.
Câu 20: Đáp án B
Phương pháp
Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Cách giải
Ta có: $\cot x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 21: Đáp án A
Phương pháp
Đếm số cách chọn $\overline {abcdef} $ thỏa mãn $a < b < c < d < e < f$.
Cách giải
Gọi số thỏa mãn bài toán là $\overline {abcdef} $ với $0 < a < b < c < d < e < f \le 9$
NX: Mỗi cách chọn một bộ 6 chữ số $a,b,c,d,e,f$ thì chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất sao cho $a < b < c < d < e < f$.
Do đó mỗi số thỏa mãn bài toán là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử 1; 2;…; 9.
Số các số cần tìm là $C_9^6$.
Câu 22: Đáp án B
Phương pháp
Tính độ dài các đoạn GA, GD, AD rồi nhận xét tính chất tam giác GAD.
Cách giải
Tam giác ACD có $AC = CD = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên $A{E^2} = \frac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} – \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}$.
Tam giác BCD đều $ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác ABE có EM là đường trung tuyến của tam giác AEB nên:
$E{M^2} = \frac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{16}}$.
Xét tam giác BME và bộ ba điểm A, G, O thẳng hàng có: $\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{OB}}{{OE}}.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GE}}{{GM}} = 1$ hay G là trung điểm của ME.
Xét tam giác ABD có DM là trung tuyến của $\Delta ABD$ nên $D{M^2} = \frac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}$.
Tam giác DME có trung tuyến DG nên $D{G^2} = \frac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} – \frac{{M{E^2}}}{4} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{8}}}{2} – \frac{{7{a^2}}}{{64}} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}$.
Lại có: $\begin{array}{l}\cos AEM = \frac{{A{E^2} + E{M^2} – A{M^2}}}{{2.AE.EM}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{16}} – \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\\ \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} – 2AE.EG.\cos AEG = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{64}} – 2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{64}}} .\frac{{13}}{{2\sqrt {70} }} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\end{array}$
Tam giác ADG có $A{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}$.
Do đó $\Delta GAD$ cân tại G.
Gọi H là trung điểm của AD thì $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},G{H^2} = G{A^2} – A{H^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}} – \frac{{3{a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^2}}}{{64}} \Rightarrow GH = \frac{{3a}}{8}$.
Diện tích tam giác ${S_{GAD}} = \frac{1}{2}.GH.AD = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}$.
Câu 23: Đáp án B
Phương pháp
- Đếm số cách chọn 15 trong 25 câu để làm đúng.
- Tính xác suất để làm đúng một câu.
- Dùng quy tắc nhân xác suất.
Cách giải
Xác suất để làm đúng một câu là $\frac{1}{4}$, xác suất để làm sai một câu là $\frac{3}{4}$.
Chọn 15 trong 25 câu để làm đúng có $C_{25}^{15}$ cách chọn.
Xác suất cần tìm là: $C_{25}^{15}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{15}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{10}} = \frac{{{3^{10}}.C_{25}^{15}}}{{{4^{25}}}}$.
Câu 24: Đáp án D
Phương pháp
Đặt $t = \sin x – \cos x$ tính $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}$ thay vào phương trình.
Giải phương trình và kết luận.
Cách giải
Đặt $t = \sin x – \cos x\left( { – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)$ thì ${t^2} = 1 – 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}$.
Thay vào phương trình ta được $\begin{array}{l}\left| t \right| + 8.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 – 8{t^2} = 2 \Leftrightarrow 8{t^2} – 2\left| t \right| – 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| = – \frac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \pm 1\left( {TM} \right)\end{array}$
TH1: $t = 1$ thì $\begin{array}{l}\sin x – \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x – \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$
TH2: $\begin{array}{l}\sin x – \cos x = – 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x – \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$
Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương tình trên đường tròn lượng giác.
Câu 25: Đáp án A
Phương pháp
Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.
Cách giải
SHTQ: ${T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10 – k}}.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^{10 – k}} = C_{10}^k.\frac{1}{{{3^{10 – k}}}}.\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}.{x^k} = \frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}.{x^k}$.
Hệ số của SHTQ là $\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}$.
Ta có: $\begin{array}{l}\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}} \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!\left( {10 – k} \right)!}} < 2.\frac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 – k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{10 – k}} < \frac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 – k} \right) \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{3}\end{array}$
Do đó: $\frac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < … < \frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}$ và $\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > … > \frac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}$
Mà $\frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}$ nên hệ số lớn nhất là $\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}$.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Câu 1.
Phương pháp
a)
– Xét $\cos x = 0$ thay vào phương trình và kiểm tra.
– Xét $\cos x \ne 0$ và chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $\tan x$.
– Giải phương trình và kết luận nghiệm.
b) Đặt $u = \sqrt {\cos x + m} $ đưa về hệ phương trình.
Tìm m để hệ có nghiệm và kết luận.
Cách giải
a) Giải phương trình: ${\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x – {\cos ^2}x = – 2$.
+) Xét $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $. Khi đó ${\sin ^2}x = 1 – {\cos ^2}x = 1$, thay vào phương trình ta được: $1 + 0 – 0 = – 2 \Leftrightarrow 1 = – 2$ (vô lí).
Suy ra $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}$ không phải là nghiệm.
+) Xét $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}$, chia hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được:
$\begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{2\sqrt 3 \sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = – \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x – 1 = – 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{ – \pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}$
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: ${\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m$.
Đặt $u = \sqrt {\cos x + m} $, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + u = m\\{u^2} – \cos x = m\end{array} \right.$. Trừ vế theo vế ta được:
${\cos ^2}x – {u^2} + u + \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {u + \cos x} \right)\left( {\cos x – u + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = – \cos x\\u = \cos x + 1\end{array} \right.$.
$*)\;u = \cos x + 1$, ta được $\sqrt {m + \cos x} = \cos x + 1\;\;\;\left( 1 \right)$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + \cos x = {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m = {\cos ^2}x + \cos x + 1$.
Đặt $t = \cos x\left( { – 1 \le t \le 1} \right)$ ta được $m = {t^2} + t + 1 = f\left( t \right)$.
Bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le m \le 3$.
$*)\;u = – \cos x$, ta được $\sqrt {m + \cos x} = – \cos x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \cos x \ge 0\\m + \cos x = {\cos ^2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\m = {\cos ^2}x – \cos x\end{array} \right.$.
Đặt $t = \cos x\left( { – 1 \le t \le 0} \right)$ ta được: $m = {t^2} – t$
Xét hàm số $g\left( t \right) = {t^2} – t$ trong đoạn $\left[ { – 1;0} \right]$ ta có bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow 0 \le m \le 2$.
Kết hợp với TH1 ta được $0 \le m \le 3$.
Vậy $m \in \left[ {0;3} \right]$.
Câu 2.
Phương pháp
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$.
Cách giải
Chọn 3 trong 11 học sinh có $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3 = 165$.
Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn có cả nam và nữ”.
TH1: Chọn 1 bạn nam và 2 bạn nữ có $C_2^1.C_9^2 = 72$ cách.
TH2: Chọn 2 bạn nam và 1 bạn nữ có $C_2^2.C_9^1 = 9$ cách.
Suy ra $n\left( A \right) = 72 + 9 = 81 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{81}}{{165}} = \frac{{27}}{{55}}$.
Câu 3.
Phương pháp
a) Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b$
b) Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:
– Tìm mặt phẳng phụ $\left( P \right)$ chứa đường thẳng a.
– Tìm giao tuyến d của $\left( P \right)$ với $\left( \alpha \right)$ đã cho.
– Tìm giao điểm của d với a.
Sử dụng định lí Ta-let suy ra tỉ số.
Cách giải
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {{\bf{SAB}}} \right)$ và $\left( {{\bf{SCD}}} \right)$.
S là điểm chung của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.
$AB//CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)$.
Suy ra $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD$.
b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với ${\bf{mp}}\left( {{\bf{SBD}}} \right)$. Tính tỉ số $\frac{{{\bf{AK}}}}{{{\bf{AM}}}}$.
Ta có: $AM \subset \left( {SAC} \right)$
Dễ thấy $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó $O \in AC \subset \left( {SAC} \right),O \in BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$
Do đó $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$
Trong $\left( {SAC} \right)$, gọi $K = AM \cap SO$ thì $K \in AM,K \in SO \subset \left( {SBD} \right)$ nên $K = AM \cap \left( {SBD} \right)$.
Do $AB//CD$ nên $\frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{2}{3}AC,OC = \frac{1}{3}AC$.
Gọi E là trung điểm của OC suy ra ME là đường trung bình của $\Delta SCO \Rightarrow ME//SO$.
Mà $OE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.AC = \frac{1}{6}.AC \Rightarrow AE = AO + OE = \frac{2}{3}AC + \frac{1}{6}AC = \frac{5}{6}AC$.
$ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AO}}{{AE}} = \frac{4}{5}$.
