Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Chuyên Thái Nguyên Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 21: Đáp án A

Phương pháp:

Mặt phẳng (P) được gọi là mặt đối xứng của khối (H) nếu mọi điểm thuộc (H) đều có điểm đối xứng qua (P) cũng thuộc (H).

Cách giải:

Câu 22: Đáp án A

Phương pháp:

+) Xác định trục d của mặt phẳng (ABCD).

+) Xác định đường trung trực d’ của SA sao cho d và d’ đồng phẳng.

+) Gọi $I = d \cap d’ \Rightarrow $ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, từ O dựng đường thẳng song song với SA và cắt SC tại trung điểm I của , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\\OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\end{array} \right.$

Theo bài ra ta có: $R = IC = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Vậy thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}$

Câu 23: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Các điểm cực trị nằm trên trục tọa độ khi và chỉ khi chúng có hoành độ hoặc tung độ bằng 0.

Cách giải:

$y’ = 4{x^3} + 4mx,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = – m\end{array} \right.$

Hàm số có 3 điểm cực trị $ \Leftrightarrow m < 0$. Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là

$A\left( {0;4} \right),\,\,B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + 4} \right),\,\,\,C\left( {\sqrt { – m} ; – {m^2} + 4} \right)$

Ta có $A \in Oy$ nên 3 điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ $ \Leftrightarrow – {m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {ktm} \right)\\m = – 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Câu 24: Đáp án C

Phương pháp:

Đường tròn ngoại tiếp khối đa diện là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó.

Cách giải:

Trong các hình: hình bình hành, hình thang vuông, hình thang cân, hình tứ giác chỉ có hình thang cân là có đường tròn ngoại tiếp nên ta chọn C.

Câu 25: Đáp án

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm không là nghiệm bội chẵn của phương trình $y’ = 0$ .

Cách giải:

Ta có $y’ = – 4{x^3} + 24{x^2} = – 4{x^2}\left( {x – 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.$. Do $x = 0$ là nghiệm kép nên hàm số chỉ có 1 cực trị $x = 6$

Câu 26: Đáp án A

Phương pháp:

Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB, khi đó

$d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)$

Cách giải:

Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên góc giữa SC và $\left( {ABC} \right)$ là góc $SCA = {60^0}$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại B nên $MN//AB \Rightarrow AB//\left( {SMN} \right)$

$d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)$

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN tại D.

Do $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot MN \Rightarrow AD \bot MN$. Từ A kẻ AH vuông góc với SD.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AD\\MD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow MD \bot AH$

Mà $AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SMD} \right)$ hay $AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH$

Do $AD = BN = \frac{1}{2}BC = 2a$

Xét $\Delta SAD$ có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}}$

$ \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = AH = \frac{{10\sqrt {237} a}}{{79}} = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}$

Câu 27: Đáp án A

Phương pháp:

Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của nhiểu nhất hai mặt.

Cách giải:

Vì có một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác, điều này trái với định nghĩa về khối đa diện.

Câu 28: Đáp án B

Phương pháp:

Hàm bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng.

Cách giải:

Hàm số có tập xác định: $R\backslash \left\{ 4 \right\}$

Ta có: $y’ = \frac{3}{{{{\left( {4 – x} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \ne 4$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Câu 29: Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y’ = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)$

+) Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở bước 2 và kết luận.

Cách giải:

Cách giải:

Ta có $y’ = 3{x^2} – 3$, cho $y’ = 0 \Rightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]\\x = – 1 \notin \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]\end{array} \right.$

$f\left( 0 \right) = 5,\,\,f\left( 1 \right) = 1,\,\,f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{31}}{8}$. So sánh ba giá trị, ta được $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\frac{3}{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 5$

Câu 30: Đáp án A

Phương pháp:

Cách giải:

Ta có $BC = \sqrt {A{B^2} – A{C^2}} = 2a$

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AC = {a^2}$, suy ra $V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = {a^3}$