Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Minh Khai Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 11: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( {{x_0}} \right) = 0\\y”\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

Cách giải:

$y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4} \right)x + 3 \Rightarrow y’ = {x^2} – 2mx + {m^2} – 4,\,\,\,y” = 2x – 2m$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 3 \right) = 0\\y”\left( 3 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 – 6m + {m^2} – 4 = 0\\6 – 2m > 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 6m + 5 = 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$

Câu 12: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Nhận xét tam giác tạo thành bởi 3 điểm cực trị là tam giác cân, tính diện tích tam giác cân đó.

Cách giải:

$y = {x^4} – \left( {m – 1} \right){x^2} + m \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 2\left( {m – 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{{m – 1}}{2}\end{array} \right.$

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì $\frac{{m – 1}}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 1$. Khi đó, giả sử tọa độ ba điểm cực trị là $A\left( {0;m} \right),\,\,\,B\left( { – \sqrt {\frac{{m – 1}}{2}} ; – \frac{{{m^2} – 6m + 1}}{4}} \right),\,\,\,C\left( {\sqrt {\frac{{m – 1}}{2}} ; – \frac{{{m^2} – 6m + 1}}{4}} \right)$

Dễ dàng chứng minh tam giác ABC cân tại A, gọi $H\left( {0; – \frac{{{m^2} – 6m + 1}}{4}} \right)$ là trung điểm của BC, khi đó:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\left| { – \frac{{{m^2} – 6m + 1}}{4} – m} \right|.2\sqrt {\frac{{m – 1}}{2}} = 1$

$ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{m^2} – 2m + 1}}{4}} \right|\sqrt {\frac{{m – 1}}{2}} = 1$

$ \Rightarrow {\left( {m – 1} \right)^2}.\sqrt {m – 1} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {m – 1} } \right)^5} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}$

$ \Leftrightarrow \sqrt {m – 1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow m – 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3$

Câu 13: Đáp án B

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m$

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: để phương trình $f\left( x \right) = m$ có bốn nghiệm phân biệt thì $ – 1 < m < 3$

Câu 14: Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$

+) Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y’ = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)$

+) Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận.

Cách giải:

$y = {x^3} – 3{x^2} + m – 1 \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$

x	0	2	3
y’	0 –	0 +
y	$m – 1$	$m – 5$	$m – 1$

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + m – 1$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ bằng 2 thì $m – 5 = 2 \Leftrightarrow m = 7$

Câu 15: Đáp án C

Phương pháp:

Lập bảng biến thiên của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$, từ đó nhận xét số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$

Cách giải:

Bảng biến thiên của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$

x	$ – \infty $	${x_1}$	-1	${x_2}$	0	${x_3}$	$ + \infty $
y’	$ + \infty $	0	1	0	3	0	$ + \infty $

Số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y = m$, để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ có bốn nghiệm phân biệt thì $1 < m < 3$

Câu 16: Đáp án B

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}},\,\,\left( {a,b,c,x,y,z > 0} \right)$, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Cách giải:

Ta có: $2P = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{x + x + y}} = \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{1} = 6 + 4\sqrt 2 \Rightarrow P \ge 3 + 2\sqrt 2 $

$ \Rightarrow {P_{\min }} = 3 + 2\sqrt 2 $ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 2 }}{y}\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x – y = 0\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}\\y = \sqrt 2 – 1\end{array} \right.$

Câu 17: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng các công thức liên quan đến lũy thừa.

Cách giải:

Với số thực dương a, b bất kì, ta có: ${\left( {ab} \right)^m} = {a^m}{b^m}$

Câu 18: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng các công thức $\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}};\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Cách giải: $P = \sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{2}{3}}} = {x^{\frac{7}{6}}}$

Câu 19: Đáp án D

Phương pháp:

${x^n} > {y^n} \Leftrightarrow x > y > 0$

Cách giải:

${a^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow a > b > 0$

Câu 20: Đáp án C

Phương pháp:

${\log _{{a^c}}}b = \frac{1}{c}{\log _a}b$, với $a,b > 0,\,\,a \ne 1$

Cách giải:

${\log _{\sqrt[3]{a}}}a = \frac{1}{{\frac{1}{3}}}{\log _a}a = 3$