Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Minh Khai Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 41: Đáp án B

Phương pháp:

$\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SB}}$

Cách giải:

+) Tính thể tích khối chóp S.ABC:

Tam giác ABC vuông cân tại A, $BC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = AC = a$

$ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SC = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{1}{6}{a^3}$

+) Chứng minh $CF \bot SB,\,\,CE \bot SA$:

Ta có: $\left( {CEF} \right) \bot SB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF \bot SB\\CE \bot SB\end{array} \right.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AB \bot CE$, mà $SB \bot CE \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CE \bot SA$

+) Lập tỉ số thể tích của khối chóp S.CEF và S.ABC:

Tam giác SBC vuông tại C, CF là đường cao $ \Rightarrow S{C^2} = SF.SB \Rightarrow \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{SF}}{{SB}} \Rightarrow \frac{{SF}}{{SB}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \frac{1}{3}$

Tam giác SAC vuông tại C, CE là đường cao$ \Rightarrow S{C^2} = SE.SA \Rightarrow \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{SE}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SF}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.CEF}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{{{a^3}}}{{36}}$

Câu 42: Đáp án A

Phương pháp:

${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}$

Cách giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC;AC} \right) = SCA = {30^0}$

ABCD có đáy là hình vuông cạnh a $ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 $

Tam giác SAC vuông tại A $ \Rightarrow SA = AC.\tan C = a\sqrt 2 .\tan {30^0} = a\sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Thể tích của khối chóp đã cho là:

$V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}$

Câu 43: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm hình trụ.

Cách giải:

Tập hợp các điểm M luôn cách đường thẳng d một khoảng không đổi R (R > 0) là mặt trụ tròn xoay.

Câu 44: Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi Rl$

Cách giải:

Ta có: ${l^2} = {h^2} + {r^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow l = 5$

Diện tích xung quanh của hình nón (N) là: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.5 = 15\pi $

Câu 45: Đáp án B

Phương pháp:

Thể tích khối trụ: $V = \pi {r^2}h$

Cách giải:

Thể tích khối trụ: $V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.4 = 36\pi $

Câu 46: Đáp án B

Phương pháp:

Tứ diện vuông OABC vuông tại O có $OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $r = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}$

Cách giải:

Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc

$ \Rightarrow $ ABCD là tứ diện vuông tại đỉnh A

$ \Rightarrow R = \frac{1}{2}.\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} = \frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{3}{2}a$

Câu 47: Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: $S = 4\pi {R^2}$

Cách giải:

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp

$R = \frac{1}{2}AC’ = \frac{1}{2}\sqrt {A{C^2} + AA{‘^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{‘^2}} = \frac{1}{2}a\sqrt 3 $

Diện tích mặt cầu đó là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2}$

Câu 48: Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}Sh$

Cách giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD; M là trung điểm của SB; I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của đoạn SB. Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Theo đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IS = IA = IB = IC = ID = R = 9\\SO = h = \frac{{4R}}{3} = \frac{{4.9}}{3} = 12\end{array} \right.$

$\Delta SIM$ đồng dạng

$ \Leftrightarrow S{O^2} + O{B^2} = 2SI.SO \Leftrightarrow {12^2} + O{B^2} = 2.9.12 \Leftrightarrow O{B^2} = 72 \Rightarrow OB = 6\sqrt 2 $

$ \Rightarrow AB = \sqrt 2 .OB = \sqrt 2 .6 = 12 \Rightarrow {S_{ABCD}} = {12^2} = 144$

Thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.144.12 = 576$

Câu 49: Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối trụ: $V = \pi {r^2}h$

Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

Cách giải:

Thể tích khối cầu: ${V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

Tam giác OIA vuông tại O $ \Rightarrow OA = \sqrt {I{A^2} – O{I^2}} = \sqrt {{R^2} – {{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 6 }}{3}$

Thể tích khối trụ: ${V_1} = \pi {r^2}h = \pi .\left( {\frac{{R\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 \pi {R^3}}}{9}$

$ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{4\sqrt 3 \pi {R^3}}}{9}}}{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Câu 50: Đáp án A

Phương pháp:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; O là trung điểm của IJ.

Ta chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Theo đề bài, ta có: $AB = CD = \sqrt 5 ,\,\,BC = AD = \sqrt {10} ,\,\,AC = BD = \sqrt {13} $

$ \Rightarrow \Delta BCD = \Delta ADC,\,\,\,\Delta ABD = \Delta BAC$

$ \Rightarrow BJ = AJ,\,\,ID = IC$

$ \Rightarrow \Delta JAB,\,\,\Delta ICD$ lần lượt là tam giác cân tại J, I

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IJ \bot AB\\IJ \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow IJ$ là trung trực của các đoạn thẳng AB và CD

Mà O là trung điểm của IJ $ \Rightarrow OA = OB = OC = OD \Rightarrow $ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

Xét tam giác ACD: $I{A^2} = \frac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) – C{D^2}}}{4} = \frac{{2\left( {13 + 10} \right) – 5}}{4} = \frac{{41}}{4} \Rightarrow JA = \frac{{\sqrt {41} }}{2}$

Tam giác IJA vuông tại I $ \Rightarrow OA = \sqrt {I{A^2} + I{O^2}} = \sqrt {\frac{5}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$