Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ và đường thẳng $y = m$

Cách giải:

Ta có: ${x^3} – 3x – m = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 3x = m\,\,\left( 1 \right)$

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ và đường thẳng $y = m$

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: để đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ cắt đường thẳng $y = m$ tại 3 điểm phân biệt thì $ – 1 < m < 3$.

Vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì $ – 1 < m < 3$

Câu 2: Đáp án A

Phương pháp:

Xác định số điểm mà tại đó đạo hàm $f’\left( x \right)$ đổi dấu.

Cách giải:

$f’\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Trong đó $f’\left( x \right)$ chỉ đổi dấu tại điểm $x = \frac{1}{2} \Rightarrow $ Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

Xác định khoảng mà $y’ \ge 0$, ($y’ = 0$tại hữu hạn điểm trên khoảng đó)

Cách giải:

$y = – {x^3} + 3{x^2} + 5 \Rightarrow y’ = – 3{x^2} + 6x$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số bậc ba đạt cực đại tại điểm$x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có: $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + m$

$ \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 6mx + 3{m^2} – 3$

$y” = 6x – 6$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 1 \right) = 0\\y”\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 – 6m + 3{m^2} – 3 = 0\\6 – 6m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Câu 5: Đáp án D

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên R $ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in R$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

$y = {x^3} + 5{x^2} – 4mx – 3 \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 10x – 4m$

Hàm số đồng biến trên R $ \Leftrightarrow y’ \ge 0,\,\,\forall x \in \,R \Leftrightarrow 3{x^2} + 10x – 4m \ge 0,\,\,\forall x \in \,R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le – \frac{{25}}{{12}}$

Câu 6: Đáp án C

Phương pháp:

Nhận biết dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Giả sử hàm số đó là: $y = a{x^4} + b{x^2} + c,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

+ Đồ thị hàm số có bề lõm úp xuống $ \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $ Loại phương án A và D

+ Hàm số đạt cực trị tại 1 điểm là $\left( {0;1} \right)$

Xét $y = – {x^4} + {x^2} + 1 \Rightarrow y’ = – 4{x^3} + 2x,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} \end{array} \right.$ : Hàm số có 3 điểm cực trị

$ \Rightarrow $ Loại phương án B.

Câu 7: Đáp án B

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 2 điểm cực trị:

Khi đó để hàm số có thì $a < 0$

Cách giải:

Hàm số có thì $a < 0 \Rightarrow $Loại bỏ phương án C và D.

+) Xét $y = – {x^3} – 3x – 2 \Rightarrow y’ = – 3{x^2} – 3,\,\,y’ = 0$: vô ngiệm $ \Rightarrow $ Hàm số không có cực trị $ \Rightarrow $Loại bỏ phương án A.

+) $y = – {x^3} + 9{x^2} + 3x + 2 \Rightarrow y’ = – 3{x^2} + 18x + 3,\,\,\,y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 8: Đáp án A

Phương pháp:

Giải phương trình $y’ = 0$ tìm các điểm cực trị của hàm số, sau đó tính các giá trị cực trị.

Cách giải:

$y = f\left( x \right) = – {x^3} + 3x – 2$

$ \Rightarrow y = – 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\x = – 1 \Rightarrow y = – 4\end{array} \right.$

Do $a = – 1 < 0$ và nên

Câu 9: Đáp án D

Phương pháp :

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Cách giải:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}} \Rightarrow y’ = – \frac{2}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in D \Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 10: Đáp án B

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là: $y = f’\left( {{x_0}} \right).\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Cách giải:

$y = {x^4} – 6{x^2} + 8x – 2 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 12x + 8 \Rightarrow y’\left( 1 \right) = 0$

Cho ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^4} – 6{x^2} + 8x – 2$ tại điểm ${x_0} = 1$ là:

$y = 0.\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 1$