Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Chuyên ĐH Vinh Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

Phương pháp:

Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy khi $x \to + \infty $ thì $y \to + \infty $ nên hệ số $a > 0 \Rightarrow $ Loại phương án C và D

Mặt khác đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm: $x = 0$ và $x = {x_0} > 0$

Xét $y = {x^3} + 3{x^2} + 2 \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 6x,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2 < 0\end{array} \right. \Rightarrow $ Loại phương án B

Ta chọn phương án A.

Câu 2: Đáp án C

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x – c}}$ có hai đường tiệm cận: $x = c$ và $y = a$, đồng thời cắt trục hoành tại điểm $\left( { – \frac{b}{a};0} \right)$

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = {x_0} < 0 \Rightarrow c < 0$, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = {y_0} > 0 \Rightarrow a > 0$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm$\left( {x{‘_0};0} \right),\,\,x{‘_0} > 0 \Rightarrow – \frac{b}{a} > 0$

Mà $a > 0 \Rightarrow b < 0$

Vậy $a > 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0$

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

Hàm bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Cách giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 4: Đáp án D

Phương pháp:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm của hai hàm số đó.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x + \frac{2}{{x – 1}} = 2x,\,\,\,x \ne 1$

$ \Leftrightarrow \frac{2}{{x – 1}} = x \Leftrightarrow 2 = {x^2} – x \Rightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow $ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 2.

Câu 5: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}S.h$

Với: S là diện tích của đáy,

h là chiều cao của khối chóp.

Cách giải:

Xét tam giác vuông ABC có: $BC\sqrt {5{a^2} – {a^2}} = 2a$

$V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.a.2a.\sqrt 2 a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}$

Câu 6: Đáp án A

Phương pháp:

– TXĐ

– Tính nghiệm và tìm các điểm không xác định ‘ y

– Tìm các giá trị tại $x = 0,\,\,x = 2$ và các điểm đã tìm ở trên (nằm trong đoạn đang xét) 0, 2 x x

– Xác định giá trị lớn nhất trong các giá trị đó.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y = {x^4} – 2{x^2} + 1 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$

$f\left( 0 \right) = 1,\,\,\,f\left( 2 \right) = 9,\,\,\,f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 9$

Câu 7: Đáp án D

Phương pháp: ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}a}}{{{{\log }_c}b}},\,\,\,0 < a,b,c \ne 1$

Cách giải: $T = {\log _{36}}24 = \frac{{{{\log }_2}24}}{{{{\log }_2}36}} = \frac{{{{\log }_2}8 + {{\log }_2}3}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}9}} = \frac{{3 + {{\log }_2}3}}{{2 + 2{{\log }_2}3}} = \frac{{3 + a}}{{2 + 2a}}$

Câu 8: Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của khối nón: ${S_{xq}} = \pi Rl$

Cách giải:

Theo đề bài, ta có tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S, $SO = a$

$ \Rightarrow R = OA = SO = a$

Độ dài đường sinh: $l = SA = OA\sqrt 2 = a\sqrt 2 $

Diện tích xung quanh của khối nón: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \sqrt 2 \pi {a^2}$

Câu 9: Đáp án A

Phương pháp:

– Tìm TXĐ

– Tìm nghiệm và các điểm không xác định của y’ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2};e} \right]$

– Tính các giá trị tại $\frac{1}{2},\,e$ và các điểm vừa tìm được

– Kết luận GTLN, GTNN của hàm số từ các giá trị trên.

Cách giải:

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

$y = x – \ln x \Rightarrow y = 1 – \frac{1}{x};\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có: $y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2;\,\,\,y\left( 1 \right) = 1;\,\,\,y\left( e \right) = e – 1$

$ \Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là: 1 và $e – 1$

Câu 10: Đáp án D

Phương pháp:

Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$:

+) Nếu $\alpha $ là số nguyên dương thì TXĐ: $D = \mathbb{R}$

+) Nếu $\alpha $ là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

+) Nếu $\alpha $ là số không nguyên thì TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Cách giải:

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne – 1$

Vây tập xác định của hàm số $y = {\left( {x + 1} \right)^{ – 2}}$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$