Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Chuyên Hạ Long Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 31: Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ:

Cách giải:

Diện tích đáy: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.2a = {a^2}$

Thể tích khối lăng trụ: $V = {S_{ABC}}.h = {a^2}.h = {a^3} \Rightarrow h = a$

Câu 32: Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào các công thức liên quan đến logarit.

Cách giải:

Khẳng định đúng là: ${\log _y}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}$, với a,b, x, y là các số thực dương khác 1.

Câu 33: Đáp án D

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ và đường thẳng $y = m$

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như hình bên:

Số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ và đường thẳng $y = m$

$ \Rightarrow $ Để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ có 4 nghiệm phân biệt thì $1 < m < 3$

Câu 34: Đáp án D

Phương pháp:

Nhận dạng hàm số bậc ba.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: khi $x \to + \infty $ thì $y \to + \infty $ nê $a > 0 \Rightarrow $ Loại các đáp án A, B, C. Chọn D.

Câu 35: Đáp án B

Phương pháp:

Xác định các trường hợp của m, trong mỗi trường hợp, tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và cho các đường tiệm cận đi qua điểm $A\left( {1;4} \right)$

Cách giải:

+) Với $m = 0 \Rightarrow y = 4$: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với $m \ne 0,\,\,\,{m^2}.\left( { – 1} \right) – \left( { – 4} \right).m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 4$ thì $y = 4$: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với $m \ne 0,\,\,m \ne 4 \Rightarrow y = \frac{{{m^2}x – 4}}{{mx – 1}}$ có tiệm cận đứng $x = \frac{1}{m}$, tiệm cận ngang $y = m$

Giả sử $x = \frac{1}{m}$ đi qua $A\left( {1;4} \right) \Rightarrow \frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1$

Giả sử $y = m$ đi qua $A\left( {1;4} \right) \Rightarrow m = 4$ (loại)

Kết luận: $m = 1$

Câu 36: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình$y’ = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

Cách giải:

$y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m – 2 \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 6x + m$

Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow ac = 0$

$ \Leftrightarrow 3.m < 0 \Leftrightarrow m < 0$

Câu 37: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tìm TXĐ.

+) Đưa phương trình về ẩn ${\log _5}x$

Cách giải:

ĐKXĐ: $x > 0,\,\,x \ne 1$

${\log _x}\left( {125x} \right).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$ \Leftrightarrow {\log _x}125 + 1.{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$ \Leftrightarrow 3{\log _x}5 + 1.\frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x$

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{{{{\log }_5}x}} + 1} \right){\log _5}x > 3 + 2\log _5^2x$

$ \Leftrightarrow 3 + {\log _5}x > 3 + 2\log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x – {\log _5}x < 0$

$ \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 $

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)$

Câu 38: Đáp án B

Phương pháp:

Nhóm nhân tử chung, đưa về phương trình mũ cơ bản để giải.

Cách giải:

${2^{{x^2} + x}} – {4.2^{{x^2} – x}} – {2^{2x}} + 4 = 0$

$ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – x}}\left( {{2^{2x}} – 4} \right) – {2^{2x}} – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {{2^{2x}} – 4} \right)\left( {{2^{{x^2} – x}} – 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{2x}} – 4 = 0\\{2^{{x^2} – x}} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{2x}} = 4\\{2^{{x^2} – x}} = 1\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\{x^2} – x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Số nghiệm dương của phương trình đã cho là 1.

Câu 39: Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi, đặt ${\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) = t,\,\,t \ge 2$

Cách giải:

${\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) – 2 = m$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left( {{{2.5}^x}} \right) – 1 = m$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).1 + {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) = m$

$ \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} – 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) – 2m = 0$

Đặt ${\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) = t,\,\,t \ge 2$, phương trình trở thành: ${t^2} + t = 2m = 0,\,\,t \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m,\,\,t \ge 2\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} + t,\,\,t \ge 2$ có: $f’\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\,\forall t \ge 2 \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ {2; + \infty } \right)$

x	2			$ + \infty $
$f’\left( t \right)$		+
$f\left( t \right)$	6			$ + \infty $

Để phương trình (*) có nghiệm thì $2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3$

Câu 40: Đáp án A

Phương pháp: ${\log _{{a^c}}} = \frac{1}{c}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;\,\,b > 0} \right)$

Cách giải:

${\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow {\log _2}x.\frac{1}{2}{\log _2}x.\frac{1}{3}{\log _2}x.\frac{1}{4}{\log _2}x = \frac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow \frac{1}{{24}}{\log _2}{x^4} = \frac{{81}}{{24}}$

$ \Leftrightarrow {\log _2}{x^4} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = \frac{1}{8}\end{array} \right.$

Tích hai nghiệm là: $8.\frac{1}{8} = 1$