Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án C

Phương pháp:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A.

+) Để $\left( \Delta \right)$ cắt đường tròn $\left( T \right)$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d\left( {I;\Delta } \right)$ lớn nhất với I là tâm của đường tròn $\left( T \right)$.

Cách giải:

${x_A} = 1 \Rightarrow {y_A} = 1 – 2m + m = 1 – m \Rightarrow A\left( {1;1 – m} \right)$

Ta có $y’ = 4{x^3} – 4mx \Rightarrow y’\left( 1 \right) = 4 – 4m$

$ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( {1;1 – m} \right)$ là

$y = \left( {4 – 4m} \right)\left( {x – 1} \right) + 1 – m \Leftrightarrow \left( {4 – 4m} \right)x – y + 3m – 3 = 0\,\,\left( \Delta \right)$

Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( {0;1} \right)$ và bán kính $R = 2$

Để $\left( \Delta \right)$ cắt đường tròn $\left( T \right)$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d\left( {I;\Delta } \right)$ lớn nhất

Ta có $d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| { – 1 + 3m – 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4 – 4m} \right)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {3m – 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4 – 4m} \right)}^2} + 1} }}$

Đến đây ta thử lần lượt các đáp án ta thấy khi $m = \frac{{13}}{{16}}$ thì $d{\left( {I;\Delta } \right)_{max}}$

Câu 2: Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào 5 khối đa diện đều đã được học.

Cách giải:

Các khối đa diện đêu có các mặt là tam giác đều là:

+) Khối tứ diện đều {3;3}

+) Khối bát diện đều {3;4}

+) Khối 20 mặt đều {3;5}

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

Xác định các nghiệm của phương trình $f’\left( x \right) = 0$ và xét dấu của $f’\left( x \right)$, từ đó lập BBT của hàm số $f\left( x \right)$ và kết luận.

Cách giải:

Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\\x = c\end{array} \right.$

Lập BBT của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

x	$ – \infty $	a	b	c	$ + \infty $
$f’\left( x \right)$	+	0 –	0 +	0 –
$f\left( x \right)$

Dựa vào BBT ta thấy chỉ có 1 mệnh đề đúng là $f\left( a \right) > f\left( b \right)$

Câu 4: Đáp án B

Phương pháp:

+) Đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn trong đó có đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đó. n

+) Cứ hai đường kính bất kì cho ta một hình chữ nhật.

Cách giải:

Đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn trong đó có n đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đó.

Cứ hai đường kính bất kì cho ta một hình chữ nhật, do đó số hình chữ nhật được tạo thành từ bốn trong 2n đỉnh của tứ giác đó là $C_n^2 = 45 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n – 2} \right)!}} = 45 \Leftrightarrow n\left( {n – 1} \right) = 90 \Leftrightarrow n = 10$

Câu 5: Đáp án A

Phương pháp :

Đặt ẩn phụ $t = 2x + 1$

Cách giải :

Đặt $t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow t = – 1\\x = 2 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.$

$ \Rightarrow T = \int\limits_{ – 1}^5 {f\left( t \right)\frac{{dt}}{2}} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^5 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}.4 = 2$

Câu 6: Đáp án B

Phương pháp: $\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = 0$

Cách giải:

${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;m + 1; – 2} \right);\,\,\,{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {2; – 1;0} \right)$

$\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = 0 \Leftrightarrow 2 – \left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 7: Đáp án C

Phương pháp:

$\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} $

$\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} $

$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $

Cách giải:

(I) hiển nhiên sai.

$\left( {II} \right):\int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 2018}}dx = \int {\frac{{\left( {{x^2} + x + 2018} \right)’}}{{{x^2} + x + 2018}}dx = \ln \left( {{x^2} + x + 2018} \right) + C} } $: đúng

$\left( {III} \right):\int {{3^x}\left( {{2^x} + {3^{ – x}}} \right)dx = \int {\left( {{6^x} + 1} \right)dx = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + x + C} } $: đúng

$\left( {IV} \right):\int {{3^x}dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C \Rightarrow \left( {IV} \right)} $ sai

Vậy có 2 mệnh đề sai.

Câu 8: Đáp án C

Phương pháp:

+) Xác định trục của mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

+) Xác định đường trung trực của cạnh bên SA.

+) Xác định giao điểm của 2 đường thẳng trên, đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

+) Áp dụng định lí Pytago để tính bán kính mặt cầu.

Cách giải:

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AC, AB và SC ta có;

E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ($\Delta ABC$ vuông tại B)

$IE//SA \Rightarrow IE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)$

${\rm{IF}}//AC \Rightarrow IF \bot SA \Rightarrow IS = IA\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow $ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC và $R = \frac{{SC}}{2}$

Xét tam giác vuông ABC có: $AC = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$

Xét tam giác vuông SAC có: $SC = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a$

Vậy $R = \frac{{2\sqrt 2 a}}{2} = a\sqrt 2 $

Câu 9: Đáp án C

Phương pháp:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng hệ thức Vi-et tính độ dài AB: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} – {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} – {y_B}} \right)}^2}} $

Cách giải:

ĐK: $x \ne 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = x + m \Leftrightarrow 2x – 1 = {x^2} + mx – x – m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m – 3} \right)x – m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Để $\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m – 3} \right)^2} – 4\left( { – m + 1} \right) = {m^2} – 2m + 5 > 0$ (luôn đúng)

Giả sử ${x_A};\,\,{x_B}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*) ta có:

$A{B^2} = {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} – {y_B}} \right)^2}$

$A{B^2} = {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {\left( {{x_A} + m – {x_B} – m} \right)^2}$

$A{B^2} = 2{\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2}$

$A{B^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} – 4{x_A}{x_B}} \right]$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = – m + 3\\{x_A}{x_B} = – m + 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow A{B^2} = 2\left[ {{{\left( { – m + 3} \right)}^2} – 4\left( { – m + 1} \right)} \right] = 16$

$ \Leftrightarrow {m^2} – 6m + 9 + 4m – 4 = 8$

$ \Leftrightarrow {m^2} – 2m – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = – 1\end{array} \right.$

Câu 10: Đáp án B

Phương pháp:

$\tan x$ xác định $ \Leftrightarrow \cos \,x \ne 0$

$\frac{A}{B}$ xác định $ \Leftrightarrow B \ne 0$

Cách giải:

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \,x \ne 0\\sin\,x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in Z} \right\}$