Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Long An Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án C

Phương pháp:

Giải phương trình $y’ = 0$ và kết luận số cực trị của hàm số.

Cách giải:

Xét hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$ có $y’ = 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$

Vậy hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$ có 3 điểm cực trị.

Câu 2: Đáp án D

Phương pháp: $\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}\ln a$

Cách giải: $f’\left( x \right) = \left( {{2^x}} \right)’ = {2^x}\ln 2$

Câu 3: Đáp án D

Phương pháp: ${\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}$

Cách giải:

$\log {\left( {x – 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = {10^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 10\\x – 1 = – 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x = – 9\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp: ${\log _a}f\left( x \right) < {\log _a}g\left( x \right);\,\,\,0 < a < 1 \Rightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0$

Cách giải:

${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 > x – 1 > 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} – 3x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left( {2; + \infty } \right)$

Câu 5: Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Cách giải:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có: $y’ = \frac{3}{{{{\left( { – x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ 1 \right\} \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left[ {2;3} \right]$

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{\begin{array}{l}2.2\\2.2 + 1\end{array}}{{ – 1 + 1}} = – 5$

Câu 6: Đáp án C

Phương pháp:

Cách giải:

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A $ \Rightarrow AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 $

Vậy ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.AA’ = \frac{1}{2}A{B^2}.AA’ = \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 2{a^3}$

Câu 7: Đáp án D

Phương pháp:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là: $y = y’\left( 2 \right)\left( {x – 2} \right) + y\left( 2 \right)$

+) Xác định tọa độ các điểm A, B $ \Rightarrow $ a, b và tính giá trị của P.

Cách giải:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’ = \frac{{ – 5}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y’\left( 2 \right) = – 5$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là: $y = – 5\left( {x – 2} \right) + 7 = – 5x + 17\left( d \right)$

$A = d \cap Ox \Rightarrow A\left( {\frac{{17}}{5};0} \right);\,\,\,B = \left( d \right) \cap Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{5}\\b = 17\end{array} \right. \Rightarrow P = 34$

Câu 8: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức ${\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;\,\,b > 0} \right)$, đưa các logarit về cùng cơ số.

Cách giải:

${\left( {{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)^2} – \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( { – {{\log }_3}x} \right)^2} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \log _3^2x – \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = {3^{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = {3.3^{\sqrt 3 }} = {3^{\sqrt 3 + !}}$

Câu 9: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 2 \right) = 0\\y”\left( 2 \right) > 0\end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có: $y’ = {x^2} – mx;\,\,\,y” = 2x – m$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 2 \right) = 0\\y”\left( 2 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 – 2m = 0\\4 – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Câu 10: Đáp án D

Phương pháp:

Hàm số đạt cực đại tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( {{x_0}} \right) = 0\\y”\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có: $y’ = 4{x^3};\,\,\,y” = 12{x^2}$

Hàm số đạt cực đại tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( {{x_0}} \right) = 0\\y”\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x_0^3 = 0\\12x_0^2 < 0\end{array} \right.$(vô nghiệm)

Vậy hàm số đã cho không có cực đại.