TRẮC NGHIỆM HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Xét các mệnh đề
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng Δ cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A,B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả (I) và (II). D. Không có mệnh đề đúng.
Câu 2. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
A. πa3. B. πa32. C. πa33. D. πa34.
Câu 3. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
A. 23+1πR2 và 23πR2. B. 23πR2 và 23+1πR2.
C. 23πR2 và 2πR2. D. 23πR2 và 23πR2+R2.
Câu 4. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằn 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
A. 4πR2. B. 6πR2. C. 8πR2. D. 2πR2.
Câu 5. Một hình trụ có bán kính đáy R=70cm, chiều cao hình trụ h=20cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
A. 80cm. B. 100cm. C. 1002cm. D. 140cm.
Câu 6. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm.
Câu 7. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R3. Hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:
A. R. B. R3. C. R32. D. R34.
Câu 8. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a. Thể tích của khối tứ diện OO'AB bằng:
A. 3a312. B. 3a36. C. 3a34. D. 3a32.
Câu 9. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O', thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A,B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn O và O'. Biết AB=2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO' bằng a32. Bán kính đáy bằng:
A. a144. B. a142. C. a143. D. a149.
Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
A.2π. B. 3π. C.4π. D.8π.
Câu 11. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
A.a3π. B. πa3. C.a32π. D.2πa3.
Câu 12. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
A.aπ. B. a2. C.a2π. D.2πa.
Câu 13. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm×240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số V1V2 bằng:
A.12. B. 1. C.2. D.4.
Câu 14. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
A.h=R. B. h=2R. C.h=3R. D.h=2R.
Câu 15. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O', chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng α đi qua trung điểm của OO' và tọa với OO' một góc 30°. Hỏi α cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A.2R3. B. 4R33. C. 2R23. D.2R3.
Câu 16: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O' có bán kính R và chiều cao bằng R2. Mặt phẳng P đi qua OO' cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
A. 2R2 B. 22R2
C. 42R2 D. 2R2
Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, BC=3a. Gọi M, N là các điểm trên các cạnh AD, BC sao cho MA=2MD,NB=2NC. Khi quay quanh AB các đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1,S2. Tính tỉ số S1S2.
A. S1S2=1221 B. S1S2=23
C. S1S2=49 D. S1S2=815
Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy là tam giác đều cạnh 2a, khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' là:
A. πa3 B. 2πa3 C. 3πa3 D. 4πa3
Câu 19: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB=1,AD=2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó?
A. 10π B. 4π C. 2π D. 6π
Câu 20: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a=2cm có thể tích là:
A. 3πcm3 B. 4πcm3
C. 2πcm3 D. πcm3
Câu 21: Cho hình trụ có bán kính đường trong đáy bằng chiều cao và bằng 2cm. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:
A. 8π3cm2 B. 4πcm2
C. 2πcm2 D. 8πcm2
Câu 22: Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm. Cắt hình trụ bằng mặt phẳng P song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích thiết diện tạo bởi hình trụ và mặt phẳng P bằng:
A. 112cm2 B. 28cm2
C. 54cm2 D. 56cm2
Câu 23: Một hình trụ có tâm các đáy là A,B. Biết rằng mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với các mặt đáy của hình trụ tại A,B và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu này là 16π. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
A. 16π3 B. 16π C. 8π D. 8π3
Câu 24: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông. Tính thể tích V của khối nón.
A. V=22πa33 B. V=3πa33
C. V=23πa33 D. V=2πa33
Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AD=8,CD=6,AC'=12. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp cả hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D'
A. Sxq=576π B. Sxq=10211+5π
C. Sxq=26π D. Sxq=5411+5π
Câu 26: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm, độ dày của thành ống là 15cm, đường kính của ống là 80cm. Lượng bê tông cần phải đổ là:
A. 0,195πm3 B. 0,18πm3
C. 0,14πm3 D. πm3
Câu 27: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r và một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích đáy S của cái lọ.
A. S=16πr2 B. S=25πr2
C. S=9πr2 D. S=36πr2
Câu 28: Một cái tháp khổng lồ có thân là hình trụ và mái là một nửa hình cầu. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của thắp (kể cả mái). Tính diện tích S cần sơn (làm tròn đến mét vuông).
A. S=8143m2 B. S=11762m2
C. S=12667m2 D. S=23524m2
Câu 29: Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng dược 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?
A. r=5π3m B. r=52π3m
C. r=10π3m D. r=25π3m
Câu 30: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9 cm, đường kính 6 cm, mặt đáy phẳng và dày 1 cm, thành cốc dày 0,2 cm. Đổ vào cốc 120 ml nước, sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2 cm. Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)?
A. 3,67cm B. 2,67cm
C. 3,28cm D. 2,28cm
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Hiển nhiên (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng. Chọn C.
Câu 2. Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy R=a2. Do đó thể tích khối trụ V=R2π.h=πa34 (đvtt). Chọn D.
Câu 3. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq=2πR.R3=23πR2 (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
Stp=Sxq+2.Sday=
23πR2+2πR2=23+1πR2(đvdt). Chọn B.
Câu 4. Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=2R.
Diện tích toàn phần là: Stp=2πRR+h=6πR2 (đvdt). Chọn B.
Câu 5. Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO' của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có
CD⊥AA'CD⊥AD⇒CD⊥AA'D⇒CD⊥A'D.
Suy ra A'C là đường kính đáy nên
A'C=2R=140cm.
Xét tam giác vuông AA'C, ta có
AC=AA'2+A'C2=1002cm.
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100cm. Chọn B.
Câu 6. Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8cm và 6cm.
Do đó độ đài đường chéo: 82+62=10cm. Chọn A.
Câu 7. Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA=O'B=R.
Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì
O'A'=R,AA'=R3 và BAA'^=300.
Vì OO'∥ABA' nên
dOO',AB=dOO',ABA'
=dO',ABA'.
Gọi H là trung điểm A'B, suy ra
O'H⊥A'BO'H⊥AA'⇒O'H⊥ABA' nên dO',ABA'=O'H.
Tam giác ABA' vuông tại A' nên BA'=AA'tan300=R.
Suy ra tam giác A'BO' đều có cạnh bằng R nên O'H=R32. Chọn C.
Câu 8. Kẻ đường sinh AA', gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm O' và H là hình chiếu của B trên A'D.
Ta có BH⊥AOO'A' nên VOO'AB=13SΔAOO'.BH.
Trong tam giác vuông A'AB có A'B=AB2-AA'2=3a.
Trong tam giác vuông A'BD có BD=A'D2-A'B2=a.
Do đó suy ra tam giác BO'D nên BH=3a2.
Vậy VOO'AB=13.12a2.a32=3a312 (đvtt). Chọn A.
Câu 9. Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB', ta có
OI⊥AB'OI⊥BB'⇒OI⊥ABB'.
Suy ra dAB,OO'=dOO',ABB'
=dO,ABB'=OI=a32.
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO'=BB'=2R.
Trong tam giác vuông AB'B, ta có
AB'2=AB2-BB2=4a2-4R2.
Trong tam giác vuông OIB', ta có
OB'2=OI2+IB'2⇔R2=a322+AB'22.
Suy ra AB'2=4R2-3a2. Từ đó ta có
4a2-4R2=4R2-3a2⇒R=a144. Chọn A.
Câu 10.
Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R=AD2=1.
Do đó diện tích toàn phần:
Stp=2πRh+2πR2=4π.
Chọn C.
Câu 11. Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2πR=2a⇔R=aπ.
Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.
Vậy thê tích khối trụ V=πR2h=πaπ2a=a3π (đvtt). Chọn A.
Câu 12. Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra h=2a và chu vi đáy bằng a.
Do đó 2πR=a⇔R=a2π. Chọn C.
Câu 13. Công thức thể tích khối trụ V=πR2h.
● Ở cách 1, suy ra h=50cm và 2πR1=240⇔R1=120π. Do đó V1=π.120π2.50 (đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h=50cm và 2πR2=120⇔R2=60π.
Do đó V2=2×π.60π2.50 (đvtt).
Suy ra V1V2=2. Chọn C.
Câu 14. Công thức tính thể tích V=πR2h, suy ra h=VπR2.
Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:
Stp=Sxq+Sday=2πRh+πR2=
2VR+πR2.
Xét hàm fR=2VR+πR2 trên 0;+∞, ta được min0;+∞fR đạt tại R=h. Chọn A.
Câu 15. Hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có:
OA=OB=R, OO'=2R và IMO^=300.
Trong tam giác vuông MOI, ta có OI=MO.tan300=R3.
Trong tam giác vuông AIO, ta có
IA=OA2-OI2=
R2-R32=R23.
Suy ra AB=2IA=2R23. Chọn C.
Câu 16: Đáp án B
S=2R.R2=22R2.
Câu 17: Đáp án D
Hình trụ có diện tích toàn phần S1, đường sinh MN=2a và bán kính đường tròn đáy là AM=2a
Diện tích toàn phần
S1=2π.AM.MN+2πAM2=16πa2
Hình trụ có diện tích toàn phần S2, đường sinh DC=2a và bán kính đường tròn đáy là AD=3a
Diện tích toàn phần
S2=2π.AD.DC+2πAD2=30πa2.
Vậy S1S2=1630=815.
Câu 18: Đáp án D
Câu 19: Đáp án B
Stp=2π.MD.AB+2.2πMD=2π.1+1=4π.
Câu 20: Đáp án C
Ta có: r=1cm và h=2cm
⇒V=π.r2.h=2πcm3.
Câu 21: Đáp án D
Sxq=2π.r.h=2π.2.2=8πcm2.
Câu 22: Đáp án D
a=52-32=4cm.
Vậy diện tích thiết diện là: S=2.4.7=56cm2.
Câu 23: Đáp án B
Ta có 4πr2=16π⇔r=2
Vậy Sxqtrô=2π.2.4=16π
Câu 24: Đáp án A
Ta có: 2r=2a.2⇒r=a2 và h=r=a2
⇒V=π3.r2.h=π3.2a2.a2=22a3π3.
Câu 25: Đáp án B
Đường chéo của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là:
AC'2=AB2+AD2+AA'2
⇔AA'=AC'2-AB2-AD2
=122-62-82=211
Ta có AC=AD2+CD2=82+62=10⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là R=AC2=5.
Hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' nên sẽ có bán kính đáy R=5, chiều cao h=AA'=211.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp=2πRh+2πR2=2π.5.211+2π.52
=10211+5π(đvtt).
Câu 26: Đáp án A
Số lượng bê tông cần đổ có thể tích là:
V=π.0,42-π.0,4-0,152.2
=0,195πm3
Câu 27: Đáp án C
Bán kính đáy của hình trụ là: R=r+2r=3r ⇒S®=πR2=9πr2.
Câu 28: Đáp án A
Diện tích xung quanh của khối cầu là:
Sc=4π.242=2340π
Diện tích xung quanh của khối trụ là:
St=48.π.30=1440π
Vậy diện tích cần sơn là:
S=Sc2+St=2592π≈8243m3.
Câu 29: Đáp án A
Ta có: V=10m3
⇒πR2h=10⇔h=10πR2
Stp=2S®+Sxq=2πR2+2R.hπ=2πR2+2R.10ππR2=2πR2+20R
Xét fx=2πx2+20x
fx=4πx-20x2⇒
f'x=0⇔x=5π3
Câu 30: Đáp án D
Dung tích của cốc là:
V=π.2,82.8
Thể tích của nước và bi là:
V1=120+5.43.π.13.
Thể tích còn trống trong cốc là: V-V1
Vậy mặt nước cách thành cốc:
V-V1π.2,82≈2.28
