TRẮC NGHIỆM NHỊ THỨC NIU-TƠN CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
I. KIẾN THỨC
1. Nhị thức Niu‐tơn
a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+…
+Cnn-1abn-1+Cnnbn =∑k=0nan-kbk
2. Hệ quả
Với a=b=1, ta có
2n=Cn0+C1+…+Cnn‐1+Cnn.
Với a=1;b=-1, ta có
0n=Cn0-C1+⋯+-1kCnk+⋯+-1nCnn.
3. Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển a+bn
� Số các hạng tử là n+1;
� Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ 0 đến
n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0=1) ;
� Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau.
II. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2x-x210
A. C108. B. C10228. C. C102. D. -C10228.
Câu 2: Khai triển đa thức Px=5x-12007 ta được
Px=a2007x2007+a2006x2006+…+a1x+a0.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a2000 =-C20077.57. B. a2000 =C20077.57. C. a2000= -C2007200052000 D. a2000= C2007757
Câu 3: Đa thức Px=32x5-80x4+80x3-40x2+10x-1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
A. 1-2x5. B. 1+2x5. C. 2x-15. D. x-15
Câu 4: Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển (x-1x)13
A. -C134x7. B. -C133. C. -C133x7. D. C133x7.
Câu 5: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (x+12x)9
A. −18C93x3. B. 18C93x3. C. -C93x3. D. C93x3.
Câu 6: Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển (x+1x2)40
A. -C4037x31. B. C4037x31. C. C402x31. D. C404x31.
Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x2+2x)6
A. 24C62. B. 22C62. C. -24C64. D. -22C64.
Câu 8: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (xy2-1xy)8
A. 70y4. B. 60y4. C. 50y4. D. 40y4.
Câu 9: Tìm số hạng chứa x3y trong khai triển (xy+1y)5
A. 3x3y. B. 5x3y. C. 10x3y. D. 4x3y.
Câu 10: Tìm hệ số của x6 trong khai triển 1x+x33n+1 với x≠0, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn 3Cn+12+nP2=4An2.
A. 210x6. B. 120x6. C. 120. D. 210.
Câu 11: Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1-3x2n, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2Cn2+143Cn3=1n.
A. -C18939. B. -C18939x9. C. C18939x9. D. C18939
Câu 12: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x-3x3)2n với x≠0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3+2n=An+12.
A. -C1612.24.312. B. C160216. C. C1612.24.312. D. C1616.20.
Câu 13: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (3x2-2x)n với x≠0, biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
A. 1080. B. −810. C. 810. D. 810.
Câu 14: Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của xtrong khai triển (x-13)n bằng 4.
A. 8. B. 17. C. 9. D. 4.
Câu 15: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3+xy21.
A. C2110x40y10. B. C2110x43y10.
C. C2111x41y11. D. C2110x43y10; C2111x41y11.
Câu 16: Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển 3x-417
A. S=1. B. S=-1. C. S=0. D. S=8192.
Câu 17: Khai triển đa thức Px=2x-11000 ta được
Px=a1000x1000+a999x999+…+a1x+a0.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a1000+a999+…+a1=2n. B. a1000+a999+…+a1=2n-1.
C. a1000 +a999 +…+a1 = 1 D. a1000 +a999 +…+a1 = 0
Câu 18: Tìm hệ số của x5 trong khai triển Px=x1-2x5+x21+3x10
A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200.
Câu 19: Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển fx=14x2+x+12x+23n với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3+Cnn-2=14n.
A. 25C1910 B. 25C1910x10. C. 29C1910 D. 29C1910x10.
Câu 20: Tìm hệ số của x4 trong khai triển Px=1-x-3x3n với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức Cnn‐2+6n+5=An+12.
A. 210. B. 840. C. 480. D. 270.
Câu 21: Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1+x+x2+x35
A. 5. B. 50. C. 101. D. 105.
Câu 22: Tìm hệ số của x5 trong khai triển
Px=1+x+21+x2+…+81+x8
A. 630. B. 635. C. 636. D. 637.
Câu 23: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. C2n0 +C2n1 + +C2nn = C2nn+1 +C2nn+2 + +C2n2n.
B. C2n0 +C2n1 +…+c2nn-1 = c2nn+1 +c2nn+2 + +C2n2n.
C. C2n0+C2n1++C2nn-2=C2nn+1+C2nn+2++C2n2n.
D. C2n0 +C2n1 + +C2nn+1 = C2nn+1 +C2nn+2 + +C2n2n.
Câu 24: Tính tổng S=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn.
A. S=2n-1. B. S=2n. C. S=2n‐1. D. S=2n+1.
Câu 25: Tính tổng S=C2n0+C2n1+C2n2+…+C2n2n.
A. S=22n. B. S=22n-1. C. S=2n. D. S=22n+1.
Câu 26: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+11+C2n+12+…+C2n+1n=220-1.
A. n=8. B. n=9. C. n=10. D. n=11.
Câu 27: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+11+C2n+13+…+C2n+12n+1=1024.
A. n=5. B. n=9. C. n=10. D. n=4.
Câu 28: Tính tổng S=Cn0+3Cn1+32Cn3+…+3nCnn.
A. S=3n. B. S=2n. C. S=3.2n. D. S=4n.
Câu 29: Khai triển đa thức Px=1+2x12=a0+a1x+…+a12x12. Tìm hệ số ak 0≤k≤12 lớn nhất trong khai triển trên.
A. C12828. B. C12929. C. C1210210. D. 1+C12828.
Câu 30: Khai triển đa thức Px=13+23x10=
a0+a1x+…+a9x9+a10x10. Tìm hệ số ak 0≤k≤10 lớn nhất trong khai triển trên.
A. 1+27310C107. B. 27310C107. C. 26310C106. D. 28310C108.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
2x-x210=∑k=010C10k.2x10‐k.-x2k
=∑k=010C10k.2x1=∑k=010C10k.210‐k.x10+k
Hệ số của x12 ứng với 10+k=12⇔k=2→
hệ số cần tìm C10228. ChọnB.
Câu 2. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
5x-12007=∑k=02017C2017k.5x2017‐k.-1k
=∑k=02017C2017k.52017‐k.-1k.x2017‐k
Hệ số của x2000 ứng với 2017-k=2000⇔k=7
→hệ số cần tìm -C20177.52000=-C20072000.52000. Chọn C.
Câu 3. Lời giải. Nhận thấy Px có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của x5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x5.) Chọn C.
Câu 4.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x-1x13=∑k=013C13k.x13‐k.-1xk
=∑k=013C13k.-1k.x13‐2k
Hệ số của x7 ứng với 13-2k=7⇔k=3→ số hạng cần tìm -C133x7. Chọn C.
Câu 5.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x+12x9=∑k=09C9k.x9‐k.12xk
=∑k=09C9k.12k.x9‐2k
Hệ số của x3 ứng với 9-2k=3⇔k=3→ số hạng cần tìm 18C93x3. Chọn B.
Câu 6.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x+1x240=∑k=040C40k.x40‐k1x2k
=∑k=040C40k.x40‐3k
Hệ số của x31 ứng với 40-3k=31⇔k=3→ số hạng cần tìm C4037x31. Chọn B.
Câu 7.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x2+2x6=∑k=06C6k.x26-k.2xk
=∑k=06C6k.2k.x12‐3k
Số hạng không chứa x ứng với 12-3k=0⇔k=4
→ số hạng cần tìm C64.24=24C62. Chọn A.
Câu 8.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
xy2-1xy8=∑k=08C8k.xy28‐k.-1xyk
=∑k=08C8k.-1k.x8‐2k.y16‐3k
Số hạng không chứa x ứng với 8-2k=0⇔k=4
→ số hạng cần tìm C84y4=70y4. ChọnA.
Câu 9.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
xy+1y5=∑k=05C5k.xy5‐k.1yk
=∑k=05C5k.x5‐k.y5‐2k
Hệ số của x3y ứng với 5-k=35-2k=1⇔k=2→ số hạng cần tìm C52x3y=10x3y.
Chọn C.
Câu 10.Lời giải. Từ phương trình 3Cn+12+nP2=4An2→n=3.
Với n=3, ta có 1x+x33n+1=1x+x310=
∑k=010C10k.1x10‐k.x3k=∑k=010C10k.x4k‐10
Hệ số của x6 ứng với 4k-10=6⇔k=4
→hệ số cần tìm C104=210. Chọn D.
Câu 11.Lời giải. Từ phương trình 2Cn2+143Cn3=1n→n=9.
Với n=9, ta có 1-3x2n=1-3x18=
∑k=018C18k.-3xk=∑k=018C18k.-3k.xk
Hệ số của x9 ứng với k=9→ hệ số cần tìm -C18939. Chọn A.
Câu 12.Lời giải. Từ phương trình Cn3+2n=An+12→n=8.
Với n=8, ta có
2x-3x32n=2x-3x316
=∑k=016C16k.2x16‐k.-3x3k
=∑k=016C16k.216‐k.-3k.x16-4k3.
Số hạng không chứa x ứng với 16-4k3=0⇔k=12
→ số hạng cần tìm C1612.24.312. Chọn C.
A. 1080. B. -810. C. 810. D. 1080.
Câu 13.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
3x2-2xn=∑k=0nCnk.3x2n‐k.-2xk
=∑k=0nCnk.3n‐k-2k.x2n‐3k
Số hạng thứ 3 ứng với k=2, kết hợp với giả thiết ta có
Cn2.3n‐2.4=1080⇔nn-1.3n=4.5.35⇔n=5.
Hệ số của x7 ứng với 2n-3k=7⇔10-3k=7⇔k=1
→ hệ số cần tìm C5134-2=-810. Chọn B.
Câu 14.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x-13n=Cn0xn+Cn1-13xn‐1
+Cn2-132xn‐2+…+Cnn-13n
→ số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là Cn2-132xn‐2
Yêu cầu bài toán ⇔Cn2-132=4
⇔n!2!n-2!.19=4→n=9
Do n∈N nên ta chọn n=9 thỏa mãn. Chọn C.
Câu 15.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x3+xy21=∑k=021C21k.x321-k.xyk
=∑k=021C21k.x63‐2k.yk
Suy ra khai triển x3+xy21 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng
thứ 11 (ứng với k=10) và số hạng thứ 12 (ứng với k=11).
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là C2110x43y10; C2111x41y11. Chọn D.
Câu 16.Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển → cho x=1.
Khi đó S=3.1-417=-1. Chọn B.
Câu 17.Lời giải. Ta có Px=a1000x1000+a999x999+…+a1x+a0.
Cho x=1 ta được P1= a1000 +a999+…+a1+a0.
Mặt khác Px=2x-11000→P1=2.1-11000=1.
Từ đó suy ra a1000+a999+…+a1+a0=1
→a1000+a999+…+a1=1-a0.
Mà là số hạng không chứa x trong khai triển Px=2x-11000 nên
a0=C100010002x0-11000=C10001000=1.
Vậy a1000+a999+…+a1=0. Chọn D.
Câu 18.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
x1-2x5=x.∑k=05C5k.-2x5-k
=∑k=05C5k.-25-k.x6-k
→ số hạng chứa x5 tương ứng với 6-k=5⇔k=1.
Tương tự, ta có x21+3x10=x2.∑l=010C10l.3x10‐l
=∑l=010C10l.310‐l.x12‐l
→ số hạng chứa x5 tương ứng với 12-l=5⇔l=7.
Vậy hệ số của x5 cần tìm Px là C51.24+C107.33=3320. Chọn C.
Câu 19.Lời giải. Từ phương trình An3+Cnn‐2=14n→n=5.
Với n=5, ta có fx=14x2+x+12x+23n
=116x+24x+215=116x+219
Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có fx=116x+219=116∑k=019C19k.2k.x19‐k
Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19-k=10⇔k=9.
Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là 116C191029=25C1910. Chọn A.
Câu 20.Lời giải. Từ phương trình Cnn‐2+6n+5=An+12→n=10.
Với n=10, khi đó Px=1-x-3x3n=1-x-3x310.
Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
Px=1-x-3x310=1-x+3x310
=∑k=010C10k-1kx+3x3k
=∑k=010C10k-1kxk1+3x2k
=∑k=010C10k∑l=0kCkl-1k3lxk+2l
Số hạng chứa x4 trong khai triển tương ứng với k+2l=40≤k≤10⇔k;l=4;0,2;10≤l≤k
Vậy hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển là C104C40+C102C213=480. ChọnC.
Câu 21.Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có
1+x+x2+x35=1+x51+x25
=∑k=05C5kxk.∑l=05C5lx2l=∑k=05C5k.∑l=05C5l.xk+2l
Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với k+2l=10⇔k=10-2l.
Kết hợp với điều kiện ta có hệ k+2l=10k,l∈N⇔0≤k≤5,0≤l≤5
⇔k;l=0;5,2;4,4;3.
Vậy hệ số cần tìm là C50.C55+C52.C54+C54.C53=101. Chọn C.
Câu 22.Lời giải. Các biểu thức 1+x , 1+x2,....,1+x4 không chứa số hạng chứa x5.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5 1+x5 là 5C55.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6 1+x6 là 6C65.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7 1+x7 là 7C75.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8 1+x8 là 8C85.
Vậy hệ số của x5 trong khai triển Px là 5C55+6C65+7C75+8C85=636. Chọn C.
Câu 23.Lời giải. Áp dụng công thức Cnk=Cnn‐k, ta có C2n0=C2n2nC2n1=C2n2n‐1…C2nn1=C2nn+1
Cộng vế theo vế, ta được C2n0+C2n1+…+C2nn‐1=
C2nn+1+C2nn+2+…+C2n2n. Chọn B.
Câu 24. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1+xn, ta có
1+xn=Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn.
Cho x=1, ta được Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=1+1n=2n. Chọn B.
Câu 25.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1+x2n, ta có
1+x2n=C2n0+C2n1x+C2n2x2+...+C2n2nx2n.
Cho x=1, ta được C2n0+C2n1+C2n2+...+C2n2n=
1+12n=22n. Chọn A.
Câu 26.Lời giải.
Ta có 1+12n+1=C2n+10+C2n+11+…+C2n+12n+1. ( 11)
Lại có C2n+10=C2n+12n+1; C2n+11=C2n+12n;
C2n+12=C2n+12n‐1; …; C2n+1n=C2n+1n+1. (2)
Từ ( 1) và (2) , suy ra C2n+10+C2n+11+…+C2n+1n=22n+12
⇔C2n+11+…+C2n+1n=22n-1
⇔220-1=22n-1⇔n=10.
Vậy n=10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Câu 27. Lời giải. Xét khai triển x+12n+1=
C2n+10x2n+1+C2n+11x2n+…+C2n+12n+1.
Cho x=1, ta được 22n+1=C2n+10+C2n+11+…+C2n+12n+1. ( 1)
Cho x=-1, ta được 0=-C2n+10+C2n+11-…+C2n+12n+1. (2)
Cộng ( 1) và (2) vế theo vế, ta được
22n+1=2C2n+11+C2n+13+…+C2n+12n+1
⇔22n+1=2.1024⇔n=5. Chọn A.
Câu 28.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1+xn, ta có
1+xn=Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn.
Cho x=3, ta được Cn0+3Cn1+32Cn3+…+3nCnn=
1+3n=4n. Chọn D.
Câu 29.Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 1+2x12, ta có
1+2x12=∑k=012C12k2xk=∑k=012C12k2kxk
Suy ra ak=C12k2k.
Hệ số ak lớn nhất khi ak≥ak+1ak≥ak‐1⇔2k.c12k≥2k+1C12k+12kc12k≥2k‐1C12k‐1
⇔112-k≥2k+12k≥112-k+1⇔233≤k≤263
0≤k≤12k∈N⇒k=8
Vậy hệ số lớn nhất là a8=C128.28. Chọn B.
Câu 30. Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của 13+23x10, ta có
13+23x10=∑k=010C10k1310‐k23xk
=∑k=010C10k1310‐k23kxk.
Suy ra ak=C10k1310‐k23k
Giả sử ak là hệ số lớn nhất, khi đó ak≥ak+1ak≥ak‐1
C10k1310-k23k≥C10k+11310-(k+1)23k+1C10k1310-k23k≥C10k-11310-(k-1)23k-1
⇔k≥193k≤223 →0≤k≤10k=7
Vậy hệ số lớn nhất là a7=27310C107. Chọn B.
