PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOAGRIT
Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2-x+3 và đường thẳng y=11.
A. 3;11. B. -3;11. C. 4;11. D. -4;11.
Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x2+2x+3=8x.
A. S=1;3. B. S=-1;3. C. S=-3;1. D. S=-3.
Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình x≤-2
A. S=1. B. S=-1. C. S=-3. D. S=3.
Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình ex2-3x=1e2.
A. T=3. B. T=1. C. T=2. D. T=0.
Câu 5. Biết rằng phương trình 32018-2xlog89=0 có nghiệm duy nhất x=x0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x0 là số nguyên tố. B. x0 là số chính phương.
C. x0 chia hết cho 3. D. x0 là số chẵn.
Câu 6. Biết rằng phương trình 9x-2x+12=2x+32-32x-1 có nghiệm duy nhất x=x0. Tính giá trị biểu thức P=x0+12log922.
A. P=1. B. P=1-12log922. C. P=1-log922. D. P=12log922.
Câu 7. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho phương trình 4x+2x+1-3=0. Khi đặt t=2x, ta được:
A. t2+t-3=0. B. 2t2-3=0. C. t2+2t-3=0. D. 4t-3=0.
Câu 8. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9x-10.3x+3=0.
A. P=1. B. P=-1. C. P=0. D. P=9.
Câu 9. Tìm tập S nghiệm của phương trình e6x-3e3x+2=0.
A. S=0; ln2. B. S=0; ln23. C. S=1;ln23. D. S=1;ln2.
Câu 10. Phương trình 4x2+x+2x2+x+1-3=0 có bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 11. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4tan2x+21cos2x-3=0 trên đoạn 0;3π.
A. T=π. B. T=3π2. C. T=6π. D. T=0.
Câu 12. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm
của phương trình 2x-1+22-x=3.
A. P=1. B. P=3. C. P=5. D. P=9.
Câu 13. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 51+x2-51-x2=24. Tập S có bao nhiêu phần tử?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 14. Phương trình 9x2+9.132x+2-4=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 15. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn 0;2π.
A. T=π. B. T=3π4. C. T=2π. D. T=4π.
Câu 16. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x+2.3x-6x=2 bằng:
A. 22. B. 25. C. 7. D. 1.
Câu 17. TínhPlà tích tất cả các nghiệm của phương trình 6x-2.2x-81.3x+162=0.
A. P=4. B. P=6. C. P=7. D. P=10.
Câu 18. Gọi x1,x2 lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình 2x2+x-1-2x2-1=22x-2x. Tính S=x1+x2.
A. S=0. B. S=1. C. S=12. D. S=52.
Câu 19. Phương trình 4x2+x+21-x2=2x+12+1 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 20. Tính S là tổng tất cả các nghiệm của
phương trình 4.22x+2-2x-4.2x+2-x-7=0
A. S=1. B. S=-1. C. S=3. D. S=0.
Câu 21. Phương trình 2log5x+3=x có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 22. Biết rằng phương trình 4log22x-xlog26=2.3log24x2 có nghiệm duy nhất x=x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x0∈-∞;-1. B. x0∈-1;1. C. x0∈1;15. D. x0∈15;+∞.
Câu 23. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình x-32x2-5x=1.
A. T=0. B. T=4. C. T=132. D. T=152.
Câu 24. Cho phương trình 2016x2.2017x=2016x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
B. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm.
C. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0.
Câu 25. Phương trình 3.25x-2+3x-105x-2+3-x=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 26. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3x2.2x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. T>1. B. T=1. C. -12<T<1. D. T<-12.
Câu 27. Cho hàm số fx=3x+1.5x2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. fx=1⇔x+1log53+x2=0. B. fx=1⇔x+1log153-x2=0.
C. fx=1⇔x+1-x2log35=0. D. fx=1⇔x+1ln3+x2ln5=0.
Câu 28. Gọi x0 là nghiệm nguyên của phương trình 5x.8xx+1=100. Tính giá trị của biểu thức P=x05-x0x0+8.
A. P=40. B. P=50. C. P=60. D. P=80.
Câu 29. Phương trình 3x2-2.42x-3x=18 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 30. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x-1.52x-2-mx-m=15, m là tham số khác 2.
A. S=2;mlog35. B. S=2;m+log35.
C. S=2. D. S=2;m-log35.
Câu 31. Biết rằng phương trình 3x2+1.25x-1=325 có đúng hai nghiệm x1,x2. Tính giá trị của P=3x1+3x2.
A. P=265. B. P=26. C. P=26. D. P=2625.
Câu 32. Phương trình 2x-1-2x2-x=x-12 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin2x-2017cos2x=cos2x trên đoạn 0;π.
A. x=π. B. x=π4. C. x=π2. D. x=3π4.
Câu 34. Biết rằng phương trình 3x2-1+x2-13x+1=1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng:
A. 2. B. 0. C. 8. D. -8.
Câu 35. Cho phương trình 2016x2-1+x2-1.2017x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương tŕnh đã cho có tổng các nghiệm bằng 0
B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
C. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.
D. Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm.
Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 251x≤253.
A. S=0;13. B. S=0;13.
C. S=-∞;13. D. S=-∞;13∪0;+∞.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn tanπ7x2-x-9≤tanπ7x-1.
A. x≤-2. B. x≥4.
C. -2≤x≤4. D. x≤-2; x≥4.
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn -2017;2017 thỏa mãn bất phương trình 4x.33>3x.43?
A. 2013. B. 2017. C. 2014. D. 2021.
Câu 39. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình 8x.21-x2>22x?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 31-x+2.32x≤7. Khi đó S có dạng a;b với a<b. Tính P=b+a.log23.
A. P=2. B. P=1. C. P=0. D. P=2log23.
Câu 41. Gọi a,b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình 3.9x-10.3x+3≤0. Tính P=b-a.
A. P=1. B. P=32. C. P=2. D. P=52.
Câu 42. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2+x+1x<1.
A. S=0;+∞. B. S=-∞;0. C. S=-∞;-1. D. S=0;1.
Câu 43. Cho bất phương trình xlog2x+4≤32. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.
B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.
C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.
D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng.
Câu 44. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình xlnx+eln2x≤2e4 sao cho a-b đạt giá trị lớn nhất. Tính P=ab.
A. P=e. B. P=1. C. P=e3. D. P=e4.
Câu 45. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số fx=2x.7x2. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. fx<1⇔x+x2log27<0. B. fx<1⇔xln2+x2ln7<0.
C. fx<1⇔xlog72+x2<0. D. fx<1⇔1+xlog27<0.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2-x+3 và đường thẳng y=11.
A. 3;11. B. -3;11. C. 4;11. D. -4;11.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2-x+3=11⇔2-x=8
⇔2-x=23⇔-x=3⇔x=-3.
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là -3;11. Chọn B.
Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x2+2x+3=8x.
A. S=1;3. B. S=-1;3. C. S=-3;1. D. S=-3.
Lời giải. Phương trình ⇔x2-4=6-3xxlog32
⇔x-2x+2+3xlog32=0
(x+1)ln3+x2ln5=0 hoặc x=0 Chọn A.
Cách 2. CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm.
Nhập vào máy tính phương trình: 2x2+2x+3-8x
CALC tại X=1ta được 0
CALC tại X=3ta được 0
Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình x≤-2
A. S=1. B. S=-1. C. S=-3. D. S=3.
Lời giải. Ta có 234x=322x-6⇔234x=236-2x
⇔4x=6-2x⇔x=1 Chọn A.
Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình ex2-3x=1e2.
A. T=3. B. T=1. C. T=2. D. T=0.
Lời giải. Ta có ex2-3x=1e2⇔ex2-3x=e-2⇔x2-3x=-2
⇔x2-3x+2=0⇔x=1x=2
→S=1;2→T=1+2=3. Chọn A.
Câu 5. Biết rằng phương trình 32018-2xlog89=0 có nghiệm duy nhất x=x0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x0 là số nguyên tố. B. x0 là số chính phương.
C. x0 chia hết cho 3. D. x0 là số chẵn.
Lời giải. Phương trình ↔2xlog89=32018↔22x3log23=32018
↔2log232x3=32018↔32x3=32018
↔2x3=2018↔x=3027 Chọn C.
Câu 6. Biết rằng phương trình 9x-2x+12=2x+32-32x-1 có nghiệm duy nhất x=x0. Tính giá trị biểu thức P=x0+12log922.
A. P=1. B. P=1-12log922. C. P=1-log922. D. P=12log922.
Lời giải. Ta có 9x-2x+12=2x+32-32x-1
↔9x+32x-1=2x+32+2x+12
⇔9x+13.9x=22.2x+2.2x⇔43.9x=32.2x
⇔92x=922⇔x=log92922=x0
Khi đó P=x0+12log922=log92922+12log922=CASIO1. Chọn A.
Câu 7. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho phương trình 4x+2x+1-3=0. Khi đặt t=2x, ta được:
A. t2+t-3=0. B. 2t2-3=0. C. t2+2t-3=0. D. 4t-3=0.
Lời giải. Ta có 4x+2x+1-3=0⇔2x2+2.2x-3=0.
Khi đặt t=2x, thay vào phương trình ta được t2+2t-3=0. Chọn C.
Câu 8. Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3.9x-10.3x+3=0.
A. P=1. B. P=-1. C. P=0. D. P=9.
Lời giải. Phương trình ⇔3.32x-10.3x+3=0.
Đặt t=3x>0. Phương trình trở thành 3t2-10t+3=0⇔t=13 hoặc t=3.
Với t=13→3x=13⇔x=-1=x1.
Với t=3→3x=3⇔x=1=x2.
Vậy P=x1x2=-1. Chọn B.
Câu 9. Tìm tập S nghiệm của phương trình e6x-3e3x+2=0.
A. S=0; ln2. B. S=0; ln23. C. S=1;ln23. D. S=1;ln2.
Lời giải. Đặt e3x=t>0. Phương trình trở thành t2-3t+2=0⇔t=1t=2.
→e3x=1e3x=2⇔3x=03x=ln2⇔x=0x=ln23→S=0;ln23. Chọn B.
Câu 10. Phương trình 4x2+x+2x2+x+1-3=0 có bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải. Phương trình tương đương với 4x2+x+2.2x2+x-3=0.
Đặt t=2x2+x, t>0. Phương trình trở thành t2+2t-3=0⇔t=1t=-3loai.
Với t=1, ta được 2x2+x=1⇔x2+x=0⇔x=0x=-1.
Vậy chỉ có duy nhất nghiệm x=0 là nghiệm không âm. Chọn B.
Câu 11. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4tan2x+21cos2x-3=0 trên đoạn 0;3π.
A. T=π. B. T=3π2. C. T=6π. D. T=0.
Lời giải. Điều kiện: cosx≠0x∈0;3π⇔x≠π2;3π2;5π2.
Ta có 4tan2x+21cos2x-3=0⇔2tan2x2+2tan2x+1-3=0
⇔2tan2x2+2.2tan2x-3=0⇔2tan2x=12tan2x=-3loaïi
⇔2tan2x=1⇔tan2x=0⇔x=kπ,k∈Z
Vì 0≤x≤3π→x=0;π;2π;3πthoûamaõn→T=6π. Chọn C.
Câu 12. Tính P là tổng bình phương tất cả các nghiệm
của phương trình 2x-1+22-x=3.
A. P=1. B. P=3. C. P=5. D. P=9.
Lời giải. Ta có 2x-1+22-x=3⇔12.2x+42x=3.
Đặt t=2x,t>0. Phương trình trở thành 12.t+4t=3⇔t2-6t+8=0⇔t=2t=4
→2x=22x=4⇔x=1=x1x=2=x2→P=x12+x22=5. Chọn C.
Câu 13. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 51+x2-51-x2=24. Tập S có bao nhiêu phần tử?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Phương trình ⇔5.5x2-55x2-24=0.
Đặt t=5x2,t≥1. Phương trình trở thành ⇔5.t-5t-24=0⇔5t2-24t-5=0
⇔t=5t=-15loai⇔t=5→5x2=5
⇔x2=1⇔x=±1→S=-1;1Chọn C.
Câu 14. Phương trình 9x2+9.132x+2-4=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Phương trình 3x+9.13x+1-4=0⇔3x+3.13x-4=0
⇔3x+3.13x-4=0
Đặt t=3x, t>0. Phương trình trở thành t+3.1t-4=0⇔t2-4t+3=0⇔t=1t=3
→3x=1⇔x=03x=3⇔x=1. Chọn C.
Câu 15. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn 0;2π.
A. T=π. B. T=3π4. C. T=2π. D. T=4π.
Lời giải. Ta có 5sin2x+5cos2x=25⇔5sin2x+51-sin2x=25
⇔5sin2x+55sin2x=25
⇔5sin2x2-25.5sin2x+5=0
⇔5sin2x-52=0⇔5sin2x-5=0⇔5sin2x=512
⇔sin2x=12⇔sinx=22sinx=-22⇔x=π4+kπ2,k∈Z.
Do x∈0;2π→x=π4;3π4;5π4;7π4
→T=π4+3π4+5π4+7π4=4π Chọn D.
Câu 16. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2x+2.3x-6x=2 bằng:
A. 22. B. 25. C. 7. D. 1.
Lời giải. Phương trình ⇔2x-6x=2-2.3x⇔2x1-3x=21-3x
⇔1-3x2x-2=0⇔3x=12x=2⇔x=0x=1→03+13=1. Chọn D.
Câu 17. TínhPlà tích tất cả các nghiệm của phương trình 6x-2.2x-81.3x+162=0.
A. P=4. B. P=6. C. P=7. D. P=10.
Lời giải. Phương trình ⇔6x-2.2x-81.3x-162=0
⇔2x3x-2-813x-2=0
⇔3x-22x-81=0⇔3x-2=02x-81=0
⇔x=log32=x1x=log281=x2→P=x1.x2=4Chọn A.
Câu 18. Gọi x1,x2 lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình 2x2+x-1-2x2-1=22x-2x. Tính S=x1+x2.
A. S=0. B. S=1. C. S=12. D. S=52.
Lời giải. Phương trình ⇔2x2-12x-1=2x2x-1
⇔2x-12x2-1-2x=0
⇔2x-1=02x2-1-2x=0⇔2x=12x2-1=2x
⇔x=0x2-1=x⇔x=0x2-x-1=0⇔x=0x=1±52
Suy ra nghiệm nhỏ nhất x=1-52, nghiệm lớn nhất x=1+52. Chọn B.
Câu 19. Phương trình 4x2+x+21-x2=2x+12+1 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Phương trình ⇔22x2+2x+21-x2=2x2+2x+1+1.
Đặt a=22x2+2x>0b=21-x2>0, suy ra 2x2+2x+1=ab. Khi đó phương trình trở thành a+b=ab+1
⇔a-ab+b-1=0⇔a1-b+b-1=0
⇔1-ba-1=0⇔a=1b=1
● Với a=1, ta được 22x2+2x=1⇔2x2+2x=0⇔x=0x=-1.
● Với b=1, ta được 21-x2=1⇔1-x2=0⇔x=±1.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x=0, x=±1. Chọn C.
Câu 20. Tính S là tổng tất cả các nghiệm của
phương trình 4.22x+2-2x-4.2x+2-x-7=0
A. S=1. B. S=-1. C. S=3. D. S=0.
Lời giải. Đặt t=2x+2-x, suy ra t2=22x+2-2x+2.
Ta có t=2x+2-x≥Cauchy22x.2-x=2.
Phương trình trở thành 4t2-2-4t-7=0⇔4t2-4t-15=0
⇔t=52thoûamaõnt=-32loaïi
⇔t=52→2x+2-x=52⇔2x+12x=52
⇔2.22x-5.2x+2=0⇔2x=22x=12⇔x=1=x1x=-1=x2
→S=x1+x2=0. Chọn D.
Câu 21. Phương trình 2log5x+3=x có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải. Điều kiện: x>-3.
Do 2log5x+3>0 nên để phương trình có nghiệm thì x>0.
Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được log5x+3=log2x.
Đặt t=log5x+3=log2x→x+3=5tx=2t
⇔x=5t-3x=2t⇔5t-3=2t⇔5t=3.1t+2t
Chia hai vế phương trình cho 5t, ta được 1=3.15t+25t. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường y=1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số y=3.15t+25t (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t=1 thỏa mãn phương trình.
Với t=1→x=2t=2thoa. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn A.
Câu 22. Biết rằng phương trình 4log22x-xlog26=2.3log24x2 có nghiệm duy nhất x=x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x0∈-∞;-1. B. x0∈-1;1. C. x0∈1;15. D. x0∈15;+∞.
Lời giải. Điều kiện: x>0.
Phương trình ⇔41+log2x-xlog26=2.32.log22x
⇔4.4log2x-xlog26=2.91+log2x
⇔4.4log2x-xlog26=18.9log2x
⇔4.4log2x-6log2x=18.9log2x.
Đặt t=log2x, phương trình trở thành 4.4t-6t=18.9t⇔4.232t-23t-18=0
⇔23t=9423t=-2loaïi⇔23t=94
⇔t=-2→log2x=-2⇔x=14∈-1;1Chọn B.
Cách CASIO. Loại ngay đáp án A vì không thỏa mãn điều kiện.
Dùng CASIO với chức năng TABLE ta dò được nghiệm nằm trong khoảng 0,2;0,3.
Câu 23. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình x-32x2-5x=1.
A. T=0. B. T=4. C. T=132. D. T=152.
Lời giải. Ta xét các trường hợp sau:
TH1. x-3=1⇔x=4 thỏa mãn phương trình.
TH2. x-3≠02x2-5x=0⇔x=0x=52.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x=0;x=52;x=4→T=132. Chọn C.
Câu 24. Cho phương trình 2016x2.2017x=2016x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
B. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm.
C. Phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm bằng 0.
Lời giải. Phương trình ⇔2016x2-x.2017x=1⇔2016x-1.2017x=1
⇔x=02016x-1.2017=1⇔x=0x=1-log20162017<0. Chọn B.
Câu 25. Phương trình 3.25x-2+3x-105x-2+3-x=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Đặt t=5x-2>0, phương trình trở thành 3t2+3x-10t+3-x=0. *
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn t và có Δ=3x-102-4.33-x=3x-82.
Suy ra phương trình * có hai nghiệm: t=13 hoặc t=3-x.
Với t=13→5x-2=13
⇔x-2=log513⇔x=2+log513
Với t=3-x→5x-2=3-x.
Dễ thấy x=2 là nghiệm duy nhất (Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=2,x=2+log513. Chọn B.
Câu 26. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3x2.2x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. T>1. B. T=1. C. -12<T<1. D. T<-12.
Lời giải. Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được log33x2.2x=log31
⇔log33x2+log32x=0⇔x2+x.log32=0
⇔xx+log32⇔x=0x=-log32
Suy ra T=0+-log32≃-0,63<-12. Chọn D.
Câu 27. Cho hàm số fx=3x+1.5x2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. fx=1⇔x+1log53+x2=0. B. fx=1⇔x+1log153-x2=0.
C. fx=1⇔x+1-x2log35=0. D. fx=1⇔x+1ln3+x2ln5=0.
Lời giải. Ta có fx=1⇔3x+1.5x2=1. *
Lấy logarit cơ số 5 hai vế của *, ta được log53x+1.5x2=log51
⇔log53x+1+log55x2=0⇔x+1log53+x2=0. Do đó A đúng.
Lấy logarit cơ số 15 hai vế của *, ta được log153x+1.5x2=log151
⇔x+1log153+x2log155=0⇔x+1log153-x2=0.Do đó B đúng.
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của *, ta được log33x+1.5x2=log31
⇔log33x+1+log35x2=0⇔x+1+x2log35=0. Do đó C sai. Chọn C.
Lấy ln hai vế của *, ta được ln3x+1.5x2=ln1
⇔ln3x+1+ln5x2=0⇔x+1ln3+x2ln5=0. Do đó D đúng.
Câu 28. Gọi x0 là nghiệm nguyên của phương tŕnh 5x.8xx+1=100. Tính giá trị của biểu thức P=x05-x0x0+8.
A. P=40. B. P=50. C. P=60. D. P=80.
Lời giải. Điều kiện: x≠-1.
Phương trình tương đương 5x.23xx+1=22.52⇔5x-2=22-xx+1. *
Lấy ln hai vế của *, ta được x-2ln5=2-xx+1ln2
⇔x-2ln5+ln2x+1=0⇔x=2x=-log52-1
Suy ra x0=2→P=x05-x0x0+8=60. Chọn C.
Câu 29. Phương trình 3x2-2.42x-3x=18 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải. Điều kiện: x≠0.
Phương trình 3x2-2.42x-3x=18⇔3x2-2.24x-6x=2.32⇔3x2-4=26-3xx. *
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của *, ta được ⇔x2-4=6-3xxlog32
⇔x-2x+2+3xlog32=0
⇔x-2=0x+2+3xlog32=0⇔x=2x2+2x+3log32=0VN
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2. Chọn B.
Câu 30. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x-1.52x-2-mx-m=15, m là tham số khác 2.
A. S=2;mlog35. B. S=2;m+log35.
C. S=2. D. S=2;m-log35.
Lời giải. Điều kiện: x≠m.
Phương trình ⇔3x-1.52x-2-mx-m=3.5⇔52x-2-mx-m-1=31-x-1⇔5x-2x-m=32-x. *
Lấy logarit cơ số 5 hai vế của *, ta được
x-2x-m=2-xlog53⇔x-21x-m+log53=0.
Với x-2=0⇔x=2thoûamaõn.
Với 1x-m+log53=0⇔x-m=-1log53
⇔x=m-log35thoûamaõn
Vậy phương trình có tập nghiệm S=2;m-log35. Chọn D.
Câu 31. Biết rằng phương trình 3x2+1.25x-1=325 có đúng hai nghiệm x1,x2. Tính giá trị của P=3x1+3x2.
A. P=265. B. P=26. C. P=26. D. P=2625.
Lời giải. Phương trình 3x2+1.25x-1=325
⇔3x2+13=125x-1.25⇔3x2=125x*
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của *, ta được ⇔log33x2=log3125x
⇔x2=xlog3125⇔x2-xlog3125=0⇔x=0=x1x=log3125=x2.
Suy ra P=3x1+3x2=30+3log3125=265. Chọn A.
Câu 32. Phương trình 2x-1-2x2-x=x-12 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Phương trình 2x-1-2x2-x=x-12
⇔2x-1+x-1=2x2-x+x2-x. *
Xét hàm số ft=2t+t trên R, ta có f't=2tln2+1>0,∀t∈R.
Suy ra hàm số ft đồng biến trên R.
Nhận thấy * có dạng fx-1=fx2-x⇔x-1=x2-x⇔x-12=0⇔x=1.
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1. Chọn A.
Câu 33. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin2x-2017cos2x=cos2x trên đoạn 0;π.
A. x=π. B. x=π4. C. x=π2. D. x=3π4.
Lời giải. Phương trình ⇔2017sin2x-2017cos2x=cos2x-sin2x
⇔2017sin2x+sin2x=2017cos2x+cos2x. *
Xét hàm số ft=2017t+t trên R, ta có f't=2017tln2017+1>0,∀t∈R.
Suy ra hàm số ft đồng biến trên R.
Nhận thấy * có dạng fsin2x=fcos2x⇔sin2x=cos2x
⇔cos2x-sin2x=0⇔cos2x=0
⇔x=π4+kπ2,k∈Z.
Vì x∈0;π⇒x=π4;3π4
⇒T=π4+3π4=πChọn A.
Câu 34. Biết rằng phương trình 3x2-1+x2-13x+1=1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng:
A. 2. B. 0. C. 8. D. -8.
Lời giải. Nếu x∈-∞;-1∪1;+∞ thì x2-1>0. Suy ra ⇒3x2-1+x2-13x+1>1.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu x∈-1;1 thì x2-1<0. Suy ra 3x2-1+x2-13x+1<1.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=-1=x1, x=1=x2.
Suy ra x13+x23=0. Chọn B.
Câu 35. Cho phương trình 2016x2-1+x2-1.2017x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0
B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
C. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.
D. Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm.
Lời giải. Nếu x∈-∞;-1∪1;+∞ thì x2-1>0. Suy ra 2016x2-1>1x2-1.2017x>0
⇒2016x2-1+x2-1.2017x>1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu x∈-1;1 thì x2-1<0. Suy ra 2016x2-1<1x2-1.2017x<0
⇒2016x2-1+x2-1.2017x<1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=-1=x1, x=1=x2.
Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0. Chọn A.
Câu 36. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 251x≤253.
A. S=0;13. B. S=0;13.
C. S=-∞;13. D. S=-∞;13∪0;+∞.
Lời giải. Vì 25<1 nên bất phương trình ⇔1x≥3⇔1-3xx≥0
⇔0<x≤13 Chọn B.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn tanπ7x2-x-9≤tanπ7x-1.
A. x≤-2. B. x≥4.
C. -2≤x≤4. D. x≤-2; x≥4.
Lời giải. Do tanπ7<1 nên bất phương trình ⇔x2-x-9≥x-1
⇔x2-2x-8≥0⇔x≥4x≤-2. Chọn D.
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn -2017;2017 thỏa mãn bất phương trình 4x.33>3x.43?
A. 2013. B. 2017. C. 2014. D. 2021.
Lời giải. Bất phương trình 4x.33>3x.43⇔4x3x>4333
⇔43x>433⇔x>3
Vì x nguyên và thuộc đoạn -2017;2017→x=4;5;6;...2017.
Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn. Chọn C.
Câu 39. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình 8x.21-x2>22x?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải. Bất phương trình 8x.21-x2>22x⇔23x.21-x2>2x
⇔23x+1-x2>2x
⇔3x+1-x2>x⇔x2-2x-1<0
⇔1-2<x<1+2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=1-2;1+2.
Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là 1;2. Chọn A.
Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 31-x+2.32x≤7. Khi đó S có dạng a;b với a<b. Tính P=b+a.log23.
A. P=2. B. P=1. C. P=0. D. P=2log23.
Lời giải. Bất phương trình ⇔33x+2.3x≤7⇔2.32x-7.3x+3≤0.
Đặt t=3x, t>0. Bất phương trình trở thành 2t2-7t+3≤0⇔12≤t≤3.
⇒12≤3x≤3⇔-log32≤x≤1
⇒a=-log32b=1⇒P=b+a.log23=0Chọn C.
Câu 41. Gọi a,b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình 3.9x-10.3x+3≤0. Tính P=b-a.
A. P=1. B. P=32. C. P=2. D. P=52.
Lời giải. Bất phương trình tương đương với 3.32x-10.3x+3≤0.
Đặt t=3x, t>0. Bất phương trình trở thành 3t2-10t+3≤0⇔13≤t≤3.
⇒13≤3x≤3⇔-1≤x≤1
⇒a=-1b=1⇒P=b-a=2Chọn C.
Câu 42. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2+x+1x<1.
A. S=0;+∞. B. S=-∞;0. C. S=-∞;-1. D. S=0;1.
Lời giải. Ta có x2+x+1=x+122+34>0.
Bất phương trình tương đương với x2+x+1x<x2+x+10. *
Nếu x2+x+1<1⇔x2+x<0⇔-1<x<0 thì *⇔x>0: không thỏa mãn.
Nếu x2+x+1>1⇔x2+x>0⇔x<-1x>0 thì *⇔x<0.
Kết hợp điều kiện x<-1x>0 ta được x<-1.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=-∞;-1. Chọn C.
Câu 43. Cho bất phương trình xlog2x+4≤32. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.
B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.
C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.
D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng.
Lời giải. Điều kiện: x>0. Đặt log2x=t→x=2t.
Bất phương trình ⇔2tt+4≤32⇔2tt+4≤25
⇔t2+4t≤5⇔-5≤t≤1
⇒-5≤log2x≤1⇔132≤x≤2
⇒S=132;2Chọn B.
Câu 44. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình xlnx+eln2x≤2e4 sao cho a-b đạt giá trị lớn nhất. Tính P=ab.
A. P=e. B. P=1. C. P=e3. D. P=e4.
Lời giải. Điều kiện: x>0. Ta có đẳng thức eln2x=elnxlnx=xlnx.
Do đó bất phương trình ⇔2.eln2x≤2.e4⇔ln2x≤4⇔lnx≤2
⇔-2≤lnx≤2⇔e-2≤x≤e2
⇔1e2≤x≤e2⇔a=1e2b=e2⇒P=ab=1Chọn B.
Câu 45. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số fx=2x.7x2. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. fx<1⇔x+x2log27<0. B. fx<1⇔xln2+x2ln7<0.
C. fx<1⇔xlog72+x2<0. D. fx<1⇔1+xlog27<0.
Lời giải. Ta có fx<1⇔2x.7x2<1. *
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của *, ta được log22x.7x2<log21
⇔log22x+log27x2<0⇔x+x2log27<0. Do đó A đúng.
Lấy ln hai vế của *, ta được ln2x.7x2<ln1
⇔ln2x+ln7x2<0⇔xln2+x2ln7<0. Do đó B đúng.
Lấy logarit cơ số 7 hai vế của *, ta được log72x.7x2<log71
⇔log72x+log77x2<0⇔xlog72+x2<0. Do đó C đúng.
Vì x∈R nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định x+x2log27<0
⇔x1+xlog27<0⇔1+xlog27<0 là sai. Chọn D.
