Trắc nghiệm bài Tổng hợp hai dao động điều hòa vật lý 12 có đáp án và lời giải và lời giải gồm các phần: Kiến thức trọng tâm, các dạng bài tập có ví dụ, bài tập rèn luyện. Các bạn xem để ôn tập các lý thuyết, nắm vững các dạng và rèn luyện kỹ năng làm bài nhé.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng kiến thức tổng hợp dao động đã trình bày ở phần lí thuyết (phương pháp véctơ quay Fresnen) và phương pháp số phức đã trình bày trong Chương 0 của cuốn sách.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình ${x_1} = 5\sin \left( {10\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$cm và ${x_2} = 5\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$ cm. Viết phương trình dao động tổng hợp?
A. $x = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t – \frac{{2\pi }}{3}} \right)$cm. B. $x = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$cm.
C. $x = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$cm. D. $x = 5\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$cm.
Lời giải
Trước tiên đổi ${x_1},{x_2}$ về dạng cos ta có:
${x_1} = 5\sin \left( {10\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 5\cos \left( {10\pi t + \frac{{2\pi }}{3} – \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\\{x_2} = 5\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.$
Biên độ dao động tổng hợp xác định bởi
${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi = {5^2} + {5^2} + {2.5^2}.cos\frac{\pi }{3} = 75 \Rightarrow A = 5\sqrt 3 $
Pha ban đầu của dao động tổng hợp xác định bởi
$\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = \frac{{5\sin \frac{\pi }{6} + 5\sin \frac{\pi }{2}}}{{5\cos \frac{\pi }{6} + 5\cos \frac{\pi }{2}}}$
$ \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{5.\frac{1}{2} + 5.1}}{{5.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 5.0}} = \frac{{5.\frac{3}{2}}}{{5.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\varphi = \frac{\pi }{3}\\\varphi = – \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$
Trong tổng hợp dao động bằng phương pháp vecto quay thì góc $\varphi $ phải nằm kẹp giữa góc ${\varphi _1}$ và ${\varphi _2}$. Vậy ta chọn nghiệm $\varphi = \frac{\pi }{3}$.
Phương trình dao động tông hợp là $x = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$cm.
Đáp án C.
| STUDY TIP |
| Sử dụng phương pháp số phức ta có thể bấm máy tính ra ngay kết quả.
Bấm máy: $5\angle \frac{\pi }{6} + 5\angle \frac{\pi }{2}$ cho kết quả $5\sqrt 3 \angle \frac{\pi }{3}$ |
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có dạng ${x_1} = 60\cos \left( {20t – \frac{\pi }{6}} \right)$cm và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {20t + \frac{\pi }{2}} \right)$cm. Biết dao động tổng hợp có vận tốc cực đại ${v_{\max }} = 1,2\sqrt 3 $(m/s). Tính biên độ ${A_2}$.
A. ${A_2} = 20$cm. B. ${A_2} = 12$cm. C. ${A_2} = 6$cm. D. ${A_2} = – 6$cm.
Lời giải
Ta có ${v_{\max }} = A\omega \Rightarrow A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{1,2\sqrt 3 }}{{20}} = 0,06\sqrt 3 m = 6\sqrt 3 cm.$
Công thức biên độ của dao động tổng hợp
${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi = {6^2} + A_2^2 + 2.6.{A_2}.cos\frac{{2\pi }}{3} = {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2}$
$ \Rightarrow A_2^2 + 6{A_2} – 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{A_2} = – 6(cm)\\{A_2} = 12(cm)\end{array} \right.$
Đáp án B.
Ví dụ 3: Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương với phương trình ${x_1} = 10\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)$cm và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {10\pi t + {\varphi _2}} \right)$cm. Phương trình tổng hợp dao động là $x = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)$cm. Viết phương trình dao động x2.
A. ${x_2} = 5\cos \left( {10\pi t – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$. B. ${x_2} = 5\cos \left( {10\pi t – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$.
C. ${x_2} = 5\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t – \frac{\pi }{3}} \right)$. D. ${x_2} = 5\cos \left( {10\pi t – \frac{\pi }{4}} \right)$.
Lời giải
Ta có $x = {x_1} + {x_2} \Rightarrow {x_2} = x – {x_1}$. Sử dụng phương pháp số phức, ta được
${x_2} = 5\sqrt 3 \angle \frac{\pi }{{12}} – 10\angle \frac{\pi }{4} = \frac{{5\sqrt 6 – 5\sqrt 2 }}{4} – \frac{{5\sqrt 6 + 5\sqrt 2 }}{4}.i = 5\angle – \frac{{5\pi }}{{12}}$
Vậy phương trình dao động: ${x_2} = 5\cos \left( {10\pi t – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$.
Đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng trục tọa độ với phương trình ${x_1} = A\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$(cm) và ${x_2} = A\sqrt 2 \cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)$(cm). Tính từ thời điểm ${t_1} = \frac{1}{{12}}s$ đến thời điểm ${t_2} = \frac{2}{3}s$ thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn $\frac{{A\sqrt 3 }}{2}(cm)$ là bao nhiêu?
A. $\frac{1}{{12}}s.$ B. $\frac{1}{4}s.$ C.$\frac{1}{6}s.$ D. $\frac{1}{8}s.$
Lời giải
Ta xét $x = {x_1} – {x_2}$ là khoảng cách đại số giữa hai chất điểm trên trục Ox.
Dùng phương pháp số phức ta được: $x = {x_1} – {x_2} = A\cos \left( {2\pi t + \frac{{5\pi }}{6}} \right)$
Khoảng cách đại số giữa hai chất điểm là một hàm biến thiên điều hòa chu kì $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 1s$. Khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn $\frac{{A\sqrt 3 }}{2}$ tức là: $d = \left| x \right| \ge \frac{{A\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\\x \le – \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$
Tại ${t_1}$ thì $x = – A$, góc mà véctơ quay quét được từ ${t_1}$ đến ${t_2}$là $\left( {{t_2} – {t_1}} \right)\omega = \frac{{7\pi }}{6}$.
Dựa vào đường tròn, ta thấy thời gian để $\left| x \right| \ge \frac{{A\sqrt 3 }}{2}$là
${t_{ – A \to – \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\left( + \right)}} + {t_{\frac{{A\sqrt 3 }}{2}\left( + \right) \to A}} + {t_{A \to \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\left( – \right)}} = \frac{T}{{12}} + \frac{T}{{12}} + \frac{T}{{12}} = \frac{1}{4}(s)$
Đáp án B.
Ví dụ 5: Một chất điểm tham gia đồng thời 3 dao động cùng phương với phương trình tương ứng là ${x_1},{x_2},{x_3}$. Biết rằng tổng hợp của hai trong ba dao động trên có phương trình tương ứng là ${x_{12}} = 8\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{{12}}} \right)(cm);{x_{13}} = 8\sqrt 3 \cos \left( {\omega t – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)(cm);{x_{23}} = 8\cos \left( {\omega t – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)(cm)$. Hỏi khi dao động thứ nhất qua vị trí có tọa độ ${x_1} = 2\sqrt 3 (cm)$ theo chiều âm thì dao động thứ hai có:
A. ${x_2} = – 2\sqrt 3 (cm)$ theo chiều dương. B. ${x_2} = – 2\sqrt 3 (cm)$ theo chiều âm.
C. ${x_2} = 2(cm)$ theo chiều âm. D. ${x_2} = 2(cm)$ theo chiều dương.
Lời giải
theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_{12}} = {x_1} + {x_2} = 8\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{{12}}} \right)(cm)\\{x_{13}} = {x_1} + {x_3} = 8\sqrt 3 \cos \left( {\omega t – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)(cm)\\{x_{23}} = {x_2} + {x_3} = 8\cos \left( {\omega t – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)(cm)\end{array} \right.$
sử dụng phương pháp số phức, ta tính được
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{{x_{12}} + {x_{13}} – {x_{23}}}}{2} = 4\sqrt 3 \cos \left( {\omega t – \frac{\pi }{{12}}} \right)\\{x_2} = \frac{{{x_{12}} + {x_{23}} – {x_{13}}}}{2} = 4\cos \left( {\omega t + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\end{array} \right.$
Như vậy dao động ${x_2}$ nhanh pha hơn dao động ${x_1}$ một góc $\frac{\pi }{2}$. Dùng đường tròn lượng giác ta suy ra khi dao động thứ nhất qua vị trí có tọa độ ${x_1} = 2\sqrt 3 (cm)$theo chiều âm thì dao động thứ hai đang qua vị trí có ${x_2} = – 2\sqrt 3 (cm)$ theo chiều âm.
Đáp án B.
Ví dụ 6: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình ${x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t – \frac{\pi }{6}} \right)$ và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t – \pi } \right)$. Dao động tổng hợp có phương trình $x = 9\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$. Để biên độ ${A_2}$ có giá trị cực đại thì ${A_1}$có giá trị
A. $15\sqrt 3 cm.$ B. $7cm.$ C.$9\sqrt 3 cm.$ D. $18\sqrt 3 cm.$
Lời giải
Ta có: $81 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow A_1^2 – \sqrt 3 {A_2}{A_1} + A_2^2 – 81 = 0$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn ${A_1}$, ta có phương trình này có nghiệm khi
$\Delta = {\left( { – \sqrt 3 {A_2}} \right)^2} – 4\left( {A_2^2 – 81} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {A_2} \le 324 \Leftrightarrow {A_2} \le 18$
Suy ra ${A_2}$ lớn nhất là 18 cm, khi ${A_1} = 9\sqrt 3 $.
Đáp án C.
| STUDY TIP |
| Điều kiện để phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có nghiệm là $\Delta = {b^2} – 4ac \ge 0$ |
| Chú ý |
| Ngoài cách giải bên, ta còn có thể sử dụng phương pháp vẽ giản đồ véctơ quay rồi áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác cũng thu được kết quả tương tự. |
Ví dụ 7: Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là ${x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + 0,35} \right)(cm)$ và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t – 1,57} \right)(cm)$. Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là $x = 20\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$. Giá trị cực đại của $\left( {{A_1} + {A_2}} \right)$ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 25 cm. B. 20 cm. C. 40 cm. D. 35 cm.
Lời giải
Biên độ tổng hợp: ${20^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {0,35 + 1,57} \right)$. Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}$, ta có:
${20^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {0,35 + 1,57} \right) = {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} – 2,68{A_1}{A_2}$
$ \ge {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} – 2,68.\frac{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}{4} = 0,329.{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \Rightarrow \left( {{A_1} + {A_2}} \right) \le 34,87cm.$
Vậy giá trị cực đại của $\left( {{A_1} + {A_2}} \right)$ là 34,87 cm.
Đáp án D.
| STUDY TIP |
| Bất đẳng thức ${\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = y$ |
