Đề Thi Học kì 1 Toán 12 Trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} + 3x – 4 = 2x – 4 \Leftrightarrow {x^3} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$ \Rightarrow y = 2.0 – 4 = – 4$

Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số là $M\left( {0; – 4} \right)$

Câu 2: Đáp án C

Phương pháp:

+) Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+) Sử dụng công thức ${\log _a}f\left( x \right) + {\log _a}g\left( x \right) = {\log _a}\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,g\left( x \right) > 0} \right)$

Cách giải:

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$

${\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = {2^0} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 $

Đối chiếu điều kiện ta được $x = \sqrt 2 $

Câu 3: Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f”\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

Cách giải:

ĐK: $x > 0$

Ta có: $f’\left( x \right) = \left( {{m^2} – 3} \right) – \frac{{2m}}{x};\,\,\,f”\left( x \right) = \frac{{2m}}{{{x^2}}}$

Để ${x_0} = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( 1 \right) = 0\\f”\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 3 – 2m = 0\\2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$

Câu 4: Đáp án B

Phương pháp:

+) Tính $f’\left( x \right)$, giải phương trình $f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow $ các nghiệm ${x_i} \in \left[ { – 1;1} \right]$

+) Tính $f\left( {{x_i}} \right);\,\,\,f\left( { – 1} \right);\,\,f\left( 1 \right)$

+) So sánh và kết luận.

Cách giải:

$f’\left( x \right) = {e^{2x}} + 2x.{e^{2x}} = {e^{2x}}\left( {1 + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$

$f\left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{1}{2}{e^{ – 1}};\,\,\,f\left( { – 1} \right) = {e^{ – 2}};\,\,\,f\left( 1 \right) = {e^2}$

$ \Rightarrow a = {e^2};\,\,\,b = – \frac{1}{2}{e^{ – 1}} \Leftrightarrow ab = – \frac{1}{2}e$

Câu 5: Đáp án D

Phương pháp:

+) ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b$

+) Sử dụng các công thức

${\log _a}f\left( x \right) – {\log _a}g\left( x \right) = {\log _a}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$

${\log _{{a^n}}}f\left( x \right) = \frac{1}{n}{\log _a}f\left( x \right)$

$\left( {0 < a \ne 1;\,\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,\,g\left( x \right) > 0} \right)$

Cách giải:

${3^{2x + 1}} = 21 \Leftrightarrow 2x + 1 = {\log _3}21$

$ \Leftrightarrow 2x = {\log _3}21 – 1 = {\log _3}21 – {\log _3}3$

$ \Leftrightarrow 2x = {\log _3}\frac{{21}}{3} = {\log _3}7$

$ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}{\log _3}7 = {\log _{{3^2}}}7 = {\log _9}7$

Câu 6: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng các công thức ${S_{xq}} = 2\pi Rh;\,\,\,{S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$, trong đó:

R: Bán kính đáy hình trụ

h: Chiều cao của hình trụ.

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng $50\pi $

$ \Rightarrow 2\pi Rh = 2\pi Rl = 50\pi \Leftrightarrow Rl = 25$

Mà $R = l \Leftrightarrow {R^2} = 25 \Leftrightarrow R = 5 = l$

Do đó diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = 2\pi Rl + 2\pi {R^2} = 50\pi + 2\pi .25 = 100\pi $

Câu 7: Đáp án D

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad – bc \ne 0} \right)$ có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x = \frac{{ – d}}{c}$

Cách giải:

Đồ thị hàm số ở hình vẽ có tiệm cận ngang là $x = – 1 \Rightarrow $ Loại đáp án C.

Đồ thị hàm số ở hình vẽ có tiệm cận đứng $y = {y_0} > 0 \Rightarrow $ Loại đáp án A.

Đồ thị hàm số ở hình vẽ đi qua điểm $\left( {0;b} \right)\,\left( {b > 0} \right) \Rightarrow $ Loại đáp án B.

Câu 8: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nhân, chia các lũy thừa cùng cơ số.

Cách giải:

Dễ thấy chỉ có đáp án C đúng.

Câu 9: Đáp án C

Phương pháp: $\left( {{u^x}} \right)’ = {u^x}\ln u.u’$

Cách giải: $\left( {{7^{x + 3}}} \right)’ = {7^{x + 3}}.\ln 7.\left( {x + 3} \right)’ = {7^{x + 3}}.\ln 7$

Câu 10: Đáp án A

Phương pháp:

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}$ thì $y = {y_0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\left( {1 + \frac{{1 – \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right) = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {1 + \frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\left( {1 + \frac{{1 – \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right) = 2$

Do đó đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 2$