Đề Thi Học kì 1 Toán 12 Trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 21: Đáp án A

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$

+) Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y’ = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)$

+) Bước 3: So sánh và kết luận:

$\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = max\left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}$

Cách giải:

Cách giải:

TXĐ: $D = R$

$y’ = 4{x^3} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$y\left( 0 \right) = – 5;\,\,\,y\left( { – 2} \right) = 23;\,\,\,y\left( {\sqrt 2 } \right) = 5$

Vậy $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;\sqrt 2 } \right]} y = 23$

Câu 22: Đáp án B

Phương pháp: ${S_{mat\,cau}} = 4\pi {R^2}$

Cách giải:

Ta có: ${S_{mat\,cau}} = 16\pi \Leftrightarrow 4\pi {R^2} = 16\pi \Leftrightarrow {R^2} = 4 \Leftrightarrow R = 2$

Câu 23: Đáp án B

Sử dụng công thức lãi kép ${A_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}$ trong đó:

${A_n}$: Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau n năm.

A: Số tiền gửi ban đầu.

r: lãi suất.

Cách giải:

Giả sử sau n năm người đó nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 600 triệu đồng ta có:

$300{\left( {1 + 0,07} \right)^n} > 600 \Leftrightarrow 1,{07^n} > 2n > {\log _{1,07}}2 \approx 10,24$

Vậy phải sau ít nhất 11 năm.

Câu 24: Đáp án

Phương pháp:

+) Gọi chiều dài của tấm nhôm là x, tính chiều rộng của tấm nhôm theo x.

+) Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

+) Tính bán kính đáy của hình trụ.

+) Tính thể tích của hình trụ $V = \pi {R^2}h$

Cách giải:

Gọi chiều dài của tấm tôn là x (m) (ĐK: $1,2 \le x < 2,4$) ta có chiều rộng của tấm tôn là $2,4 – x\left( m \right)$

Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

TH1: Hình trụ có chiều cao bằng $2,4 – x$ và chu vi đáy bằng x

$ \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{x}{{2\pi }}$

${V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{x}{\pi }} \right)^2}.\left( {2,4 – x} \right) = \frac{1}{\pi }{x^2}\left( {2,4 – x} \right)$

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\left( {2,4 – x} \right) = 2,4{x^2} – {x^3}\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)$ ta có:

$f’\left( x \right) = 4,8x – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 1,6 \in \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.$

$f\left( {1,6} \right) = 2,048 \Rightarrow {f_{max}} = f\left( {1,6} \right) = 2,048$

$ \Rightarrow $ Chiều dài và chiều rộng của tấm tôn lần lượt là 1,6m và 0,8m

TH2 : Hình trụ có chiều cao bằng x và chu vi đáy bằng $2,4 – x$

$ \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{2,4 – x}}{{2\pi }}$

$ \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{2,4 – x}}{\pi }} \right)^2}x = \frac{1}{\pi }{\left( {2,4 – x} \right)^2}x$

Xét hàm số $f\left( x \right) = x{\left( {2,4 – x} \right)^2} = {x^3} – 4,8{x^2} + 5,76x\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)$ ta có

$f’\left( x \right) = 3{x^2} – 9,6x + 5,76 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,4 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 0,8 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.$

Vậy trường hợp này không thỏa mãn.

Câu 25: Đáp án B

Phương pháp: $l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} $

Cách giải:

Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AB ta được khối nón có

$h = AB = 6,\,\,\,R = AC = 8 \Rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = 10$

Câu 26: Đáp án B

Dựa vào tính đơn điệu của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow a > 1$

Đồ thị hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow b < 1$

Vậy $a > 1 > b$

Câu 27: Đáp án B

Phương pháp:

Xác định các mặt đối xứng của hình lập phương.

Cách giải:

Hình lập phương có 9 mặt đối xứng.

Câu 28: Đáp án D

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số mũ.

Cách giải:

Dễ thấy khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow $ Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $\left( {0;1} \right) \Rightarrow $ Đáp án D sai.

Câu 29: Đáp án B

Phương pháp:

Dựa vào BBT của hàm số.

Cách giải:

Ta có

Câu 30: Đáp án A

Phương pháp:

Cô lập m.

Cách giải:

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}4 – x \ge 0\\5 – x \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\x \le 5\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 4$

Ta có $\sqrt {4 – x} + \sqrt {5 – x} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow m = \frac{{x\sqrt x + 3}}{{\sqrt {4 – x} + \sqrt {5 – x} }} = f\left( x \right)\,\,\,\left( {x \in \left[ {0;4} \right]} \right)$

Sử dụng MTCT ta thấy hàm số đồng biến trên $\left[ {0;4} \right]$ và

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = \frac{3}{{2 + \sqrt 5 }} = 3\sqrt 5 – 6$

$\mathop {max}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 11$

Để phương trình có nghiệm

$ \Rightarrow $ Có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 31: Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích hình trụ $V = \pi {R^2}h$

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AD ta được khối trụ có $h = AD;\,\,\,R = AB$

$ \Rightarrow {V_1} = \pi A{B^2}.AD$

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được khối trụ có $h = AB;\,\,\,R = AD$

$ \Rightarrow {V_2} = \pi A{D^2}.AB$

$ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi A{B^2}.AD}}{{\pi A{D^2}.AB}} = \frac{{AB}}{{AD}} = 3 \Rightarrow {V_1} = 3{V_2}$

Câu 32: Đáp án B

Phương pháp: ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\left( {a,b,c > 0,\,\,a,c \Rightarrow 1} \right)$

Cách giải: $P = {\log _{14}}8 = \frac{{{{\log }_2}8}}{{{{\log }_2}14}} = \frac{3}{{{{\log }_2}7 + 1}} = \frac{3}{{a + 1}}$

Câu 33: Đáp án A

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là:

$y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Cách giải:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = – 2 \Rightarrow E\left( {0; – 2} \right)$

$y’ = – 9{x^2} + 1 \Rightarrow y’\left( 0 \right) = 1$

$ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại E là $y = 1\left( {x – 0} \right) – 2 = x – 2$

Câu 34: Đáp án A

Phương pháp: ${V_{tru}} = h.{S_{day}}$

Cách giải:

${S_{day}} = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $

$ \Rightarrow {V_{tru}} = h.{S_{day}} = 6.9\sqrt 3 = 54\sqrt 3 $

Câu 35: Đáp án D

Phương pháp:

Đặt $t = \log x$ , đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Cách giải:

ĐK: $x > 0$

Đặt $t = \log x$, phương trình trở thành ${t^2} – \left( {2m – 3} \right)t – m – 1 = 0\,\,\left( * \right)$

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thỏa mãn ${x_1}{x_2} = 10$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm t thỏa mãn ${t_1} + {t_2} = \log {x_1} + \log {x_2} = \log \left( {{x_1}{x_2}} \right) = \log 10 = 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\{t_1} + {t_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m – 3} \right)^2} – 4.\left( { – m – 1} \right) \ge 0\\2m – 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Câu 36: Đáp án A

Phương pháp:

Cách giải:

Ta có

${V_{A.A’B’C’}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} \Rightarrow {V_{A.BCC’B’}} = {V_{ABC.A’B’C’}} – {V_{A.A’B’C’}}$

$ = {V_{ABC.A’B’C’}} – \frac{1}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A’B’C’}}$

$ \Rightarrow {V_{A.BCC’B’}} = \frac{2}{3}.30 = 20$

Câu 37: Đáp án D

Phương pháp:

+) Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số xác định dấu của hệ số a.

+) Tìm số điểm cực trị của hàm số.

+) Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Cách giải:

$a > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \Rightarrow $ Loại đáp án C.

Ta có: $y’ = 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị $ \Rightarrow $ Loại đáp án A.

Cho $x = 0 \Rightarrow y = – 3 < 0 \Rightarrow $ Loại đáp án B.

Câu 38: Đáp án D

Phương pháp:

Hàm số $y = {\log _a}f\left( x \right)$ xác định $ \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0$

Cách giải:

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \frac{{ – 2x + 4}}{{x + 3}} > 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2$

Câu 39: Đáp án C

Phương pháp:

Gọi ${x_1},\,{x_2}$ là hai cực trị của hàm số.

Để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của đường thẳng $y = 3x – 4$ thì $\left( {3{x_1} – 4} \right)\left( {3{x_2} – 4} \right) < 0$

Cách giải:

TXĐ: $D = R$

Ta có $y’ = 6{x^2} + 6mx + 3$

Để hàm số có hai điểm cực trị $ \Leftrightarrow pt\,\,y’ = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0$

$ \Leftrightarrow 9{m^2} – 18 > 0 \Rightarrow {m^2} > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m < – \sqrt 2 \end{array} \right.$

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là ${x_1};\,{x_2} \Rightarrow {x_1};\,{x_2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $y’ = 0$

Để hai điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng $y = 3x – 4$

$ \Rightarrow \left( {3{x_1} – 4} \right)\left( {3{x_2} – 4} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{x_1}{x_2} – 12\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 16 < 0$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – m\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow 9.\frac{1}{2} – 12\left( { – m} \right) + 16 < 0 \Leftrightarrow 12m < – \frac{{41}}{2} \Leftrightarrow m < \frac{{ – 41}}{{24}}$. Kết hợp điều kiện ta có $m \in \left( { – 10;\frac{{ – 41}}{{24}}} \right)$

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 40: Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả 2 vế cho ${9^x}$ (hoặc ${4^x}$, hoặc ${6^x}$)

Cách giải:

${3.4^{x + 1}} – {35.6^x} + {2.9^{x + 1}} = 0$

$ \Leftrightarrow {12.4^x} – {35.6^x} + {18.9^x} = 0$

$ \Leftrightarrow 12{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} – 35{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 18 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{9}{4}\\{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 1\end{array} \right.$