ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng α, ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
d và α cắt nhau tại điểm M, kí hiêu M=d∩α hoặc để đơn giản ta kí hiệu M=d∩α (h1)
d song song với α, kí hiệu d∥α hoặc α∥d ( h2)
d nằm trong α, kí hiệu d⊂α (h3)
2. Các định lí và tính chất.
Vậy d⊄αd∥d'd'⊂α⇒d∥α
Vậy d∥αd⊂βα∩β=d'⇒d'∥d.
Vậy α∥dβ∥dα∩β=d'⇒d'∥d.
1. DẠNG 0: LÝ THUYẾT
Câu 1: Cho mặt phẳng α và đường thẳng d⊄α. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu d∥α thì trong α tồn tại đường thẳng a sao cho a∥d.
B. Nếu d∥α và đường thẳng b⊂α thì b∥d.
C. Nếu d∥c⊂α thì d∥α.
D. Nếu d∩α=A và đường thẳng d'⊂α thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Hướng dẫn giải:
Khi d∥α và đường thẳng b⊂α thì ngoài trường hợp b∥d còn có trường hợp b và d chéo nhau.
Đáp án B.
Câu 2: Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mpP. Khẳng định nào sau đây không sai?
A. a∥b .
B. a và b cắt nhau.
C. a và b chéo nhau.
D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b.
Hướng dẫn giải:
Cho mpP qua A,B,C không thẳng hàng.
Giả sử a,b,c phân biệt là các đường thẳng nằm ngoài mpP thỏa a∥AB,b∥AB,c∥BC.
Trong trường hợp này a∥b.
Nếu a và c đồng phẳng thì a cắt c.
Nếu a và c không đồng phẳng thì a và c chéo nhau.
Chọn D.
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng a⊂mpP và mpP∥ đường thẳng Δ ⇒ a∥Δ.
B. Δ∥mpP⇒ Tồn tại đường thẳng Δ'⊂mpP:Δ'∥Δ.
C. Nếu đường thẳng Δ song song với mpP và P cắt đường thẳng a thì Δ cắt đường thẳng a.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta có Δ∥Δ'Δ'⊂P⇒Δ∥P.
Chọn B.
Câu 4: Cho mpP và hai đường thẳng song song a và b.
Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông trong các mệnh đề sau:
A. Nếu mpP song song với a thì P∥b
B. Nếu mpP song song với a thì P chứa b
C. Nếu mpP song song với a thì P∥b hoặc chứa b
D. Nếu mpP cắt a thì cũng cắt b
E. Nếu mpP cắt a thì P có thể song song với b
F. Nếu mpP chứa a thì P có thể song song với b
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
a∥ba∥P⇒b∥P∨b⊂P.
Chọn D.
a cắt P suy ra b không song song P mà P cũng không chứa b, vậy b cắt P.
Chọn F.
Câu 5: Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng là
? Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
? Đường thẳng song song với mặt phẳng.
? Đường thẳng cắt mặt phẳng.
Chọn C.
Câu 6: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau.
Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song vớib?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Theo định lý 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Chọn B.
Câu 7: Cho hai đường thẳng song song 
và 
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với ?
A. 
B. 
C. 
D. vô số.
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất: Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Chọn D.
Câu 8 : Cho đường thẳng a nằm trong mpα và đường thẳng b⊄α. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu b∥α thì b∥a.
B. Nếu b cắt α thì b cắt a.
C. Nếu b∥a thì b∥α.
D. Nếu b cắt α và mpβ chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt cả a và b.
Lời giải
Chọn C.
Câu 9: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Gọi α là mp chứa a và song song b.
α có vtptnα→=ua→;ub→
Đồng thời α qua A với A∈a.
Do đó α xác định duy nhất.
Chọn B.
ĐÁP ÁN
Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
ĐA | B | D | B | C | C | B | D | C | B | |
Câu | | | | | | | | | | |
ĐA | | | | | | | | | | |
2. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).
- Bước 1: Quan sát và quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt Δ⊂(α) và chứng minh d∥Δ.
- Bước 2: Kết luận d∥(α).
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.
- Bước 1: Chứng minh
d=(β)∩(γ) mà (β)∩(α)=a(γ)∩(α)=ba∥b
- Bước 2: Kết luận d∥(α).
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?
A.IO∥mpSAB .
B. IO∥mpSAD.
C. mpIBDcắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
D.IBD∩SAC=IO .
Hướng dẫn giải:
Ta có: OI∥SAOI⊄SAB⇒OI∥SAB nên A đúng.
Ta có: OI∥SAOI⊄SAD⇒OI∥SAD nên B đúng.
Ta có: IBD cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác IBD nên Chọn C.
Ta có: IBD∩SAC=IO nên D đúng.
Chọn C.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD.
Chọn Câu sai :
A. G1G2∥ABD. B. G1G2∥ABC.
C. BG1, AG2 và CD đồng qui D. G1G2=23AB.
Hướng dẫn giải:
G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG1, AG2 và CD đồng qui tại M(là trung điểm của CD) .
Vì G1G2∥AB nên G1G2∥ABDvà G1G2∥ABC.
Lại có G1G2=13AB nên chọn đáp án D.
Chọn D.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng α qua BD và song song với SA, mặt phẳng α cắt SCtại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. SK=2KC. B. SK=3KC. C. SK=KC. D. SK=12KC.
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do mặt phẳng α qua BD nên O∈α.
Trong tam giác SAC, kẻ OK song song SA K∈SC.
Do α∥SAOK∥SAO∈α⇒OK⊂α⇒SC∩α=K.
Trong tam giác SAC ta có
OK∥SAOA=OC⇒OK là đường trung bình của ΔSAC.
Vậy SK=KC.
Chọn C.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD với M,N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD , ACD
Xét các khẳng định sau:
(I) MN∥mpABC. (II) MN∥mpBCD.
(III) MN∥mpACD. (IV))MN∥mpCDA.
Các mệnh đề nào đúng?
A. I, II. B. II, III. C. III, IV. D. I, IV.
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của AD.
Do M,N là trọng tâm tam giác ABD,ACD nên IMIB=INIC=13
Theo định lý Talet có MN∥BC.
Mà BC⊂BCD,BC⊂ABC.
Vậy MN∥BCD,MN∥ABC.
Chọn A.
ĐÁP ÁN
3. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng α đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc α chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: α∥dd⊂βM∈α∩β⇒α∩β=d'∥d,M∈d'
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD∥BC, AD=2.BC, M là trung điểm SA. Mặt phẳng MBC cắt hình chóp theo thiết diện là
A. tam giác. B. hình bình hành. C. hình thang vuông. D. hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có giao tuyến của MBC với SAD là MN sao cho
Ta có: MN∥BC∥AD nên thiết diện AMND là hình thang.
Lại có MN∥BC và M là trung điểm SA
⇒MN là đường trung bình, MN=12AD=BC
Vậy thiết diện MNCB là hình bình hành.
Chọn B.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng α qua và M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi α là
A. hình bình hành. B. hình chữ nhật. C. hình thang. D. hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Trên ABC kẻ MN∥AB; N∈BC
Trên BCD kẻ NP∥CD; P∈BD
Ta có α chính là mặt phẳng MNP
Sử dụng đính lý ba giao tuyến ta có
MNP∩AD=Q với MQ∥CD∥NP
Ta có
MQ∥NP∥CDMN∥PQ∥AB⇒ thiết diện MNPQ là hình bình hành.
Chọn A.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng α tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.
Hướng dẫn giải:
Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp.
Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến.
Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của α với S.ABCD có không qua 5 cạnh, không thể là hình lục giác 6 cạnh.
Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có giao tuyến của ADM với SBC là MN sao cho
Ta có: MN∥BC∥AD nên thiết diện AMND là hình thang.
Chọn A.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm I trên đoạn SO sao cho SISO=23, BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N. MNBD là hình gì ?
A. Hình thang. B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.
Hướng dẫn giải:
I trên đoạn SO và SISO=23 nên I là trọng tâm tam giác SBD. Suy ra M là trung điểm SD; N là trung điểm SB.
Do đó MN∥BD và MN=12BD nên MNBD là hình thang.
Chọn A.
Câu 5: Cho tứ diện ABCD . M là điểm nằm trong tam giác ABC,mpα qua M và song song với AB và CD. Thiết diện của ABCD cắt bởi mpα là:
A. Tam giác. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
nên giao tuyến α và ABC là đường thẳng song song AB.
Trong ABC. Qua M vẽ EF∥AB1 E∈BC,F∈AC. Ta có α∩ABC=MN.
Tương tự trong mpBCD, qua E vẽ EH∥DC 2 H∈BD suy ra α∩BCD=HE.
Trong mpABD, qua H vẽ HG∥AB 3 G∈AD, suy ra α∩ABD=GH.
Thiết diện của ABCD cắt bởi α là tứ giác EFGH.
Ta có
Từ 1,2,3,4
⇒EF∥GHEH∥GF⇒EFGHlà hình bình hành.
Chọn D.
Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN∥mpABCD.
B. MN∥mpSAB.
C. MN∥mpSCD.
D. MN∥mpSBC.
Hướng dẫn giải:
MN là đường trung bình của ΔSAC nên MN∥AC.
Ta có MN∥ACAC⊂ABCDMN⊄ABCD⇒MN∥ABCD.
Chọn A.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Mlà trung điểm của OC, Mặt phẳng α qua M song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α là:
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình ngũ giác.
Hướng dẫn giải:
Ta có: M∈α∩ABCDα∥BD⊂ABCD.
⇒α∩ABCD=EF∥BD
M∈EF,E∈BC,F∈CD
Lại có: M∈α∩SACα∥SA⊂SAC.
⇒α∩SAC=MN∥SAN∈SC
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác NEF.
Chọn A.
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB=CD. Mặt phẳng α qua trung điểm của AC và song song vớiAB, CD cắt ABCD theo thiết diện là
A. hình tam giác. B. hình vuông. C. hình thoi. D. hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có: M∈α∩ABCα∥AB⊂ABC
⇒α∩ABC=MN∥ABN∈BC, N là trung điểm BC .
N∈α∩BCDα∥CD⊂BCD
⇒α∩BCD=NP∥CDP∈BD, P là trung điểm BD .
P∈α∩BDAα∥AB⊂BDA
⇒α∩BDA=PQ∥ABQ∈AD, Q là trung điểm AD.
MQ=α∩ADCα∥CD⊂ADC⇒QM∥CD
Khi đó thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Lại có: AB=CD suy ra MN=NP.
Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ.
Chọn C.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA (M không trùng với S và A ). Mpα qua ba điểm M,B,C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là:
A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
Ta có AD∥BC⊂MBCAD⊄MBC⇒AD∥MBC.
Ta có MBC∥AD nên MBC và SAD có giao tuyến song song AD.
Trong SAD, vẽ MN∥ADN∈SD ⇒MN=MBC∩SAD.
Thiết diện của S.ABCD cắt bởi MBC là tứ giác BCNM. Do MN∥BC (cùng song song AD) nên BCNM là hình thang.
Chọn B.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là trung điểm CD. Mặt phẳng α qua M song song với BC và SA. α cắt AB,SB lần lượt tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng α với khối chóp S.ABCD ?
A. Là một hình bình hành. B. Là một hình thang có đáy lớn là MN. C. Là tam giác MNP. D. Là một hình thang có đáy lớn là NP.
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng ABCD , qua M kẻ đường thẳng MN∥BCN∈BC. Khi đó, MN⊂α.
Trong mặt phẳng SAB , qua N kẻ đường thẳng NP∥SAP∈SB. Khi đó, NP⊂α.
Vậy α≡MNP.
Xét hai mặt phẳng MNP và SBC có
MN⊂MNPBC⊂SBCMN∥BCP∈MNP,P∈SBC
⇒hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm P và song song với BC.
Trong mặt phẳng SBC kẻ PQ∥BCQ∈SC. Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt phẳng α với mặt phẳng SBC. Vậy mặt phẳng α cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Tứ giác MNBC có MN∥BCMC∥NB⇒MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN=BC.
Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB, Q thuộc đoạn SC và PQ∥BC nên PQ<BC.
Tứ giác MNPQ có MN∥PQPQ<MN⇒MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN.
Chọn B.
Câu 11: Cho tứ diện
. Gọi 
là điểm nằm trong tam giác
, 
là mặt phẳng đi qua và song song với các đường thẳng 
và
. Thiết diện của tứ diện và mp là hình gì ?
A. Hình bình hành. B. Hình tứ diện.
C. Hình vuông. D. Hình thang.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(α)∩(ABC)=PQ,PQ∥AB.P∈AC,Q∈BC. 
(α)∩(ACD)=PS,PS∥CD.S∈AD. 
(α)∩(BCD)=QR,QR∥CD.R∈BD. 
(α)∩(ABD)=RS,RS∥AB.
RS∥PQ(∥AB)
PS∥RQ(∥CD)
Từ 
, , , , , ta được thiết diện cần tìm là hình bình hành 
.
Chọn A.
ĐÁP ÁN
Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
ĐA | B | A | A | A | D | A | A | C | B | B |
Câu | 11 | | | | | | | | | |
ĐA | A | | | | | | | | | |
