CỰC TRỊ CỦA THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=a2, SC=a3. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=a36. B. Vmax=a362. C. Vmax=a363. D. Vmax=a366.
Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có độ dài đường chéo AC'=18. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.
A. Smax=363. B. Smax=183. C. Smax=18. D. Smax=36.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC=6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=403. B. Vmax=803. C. Vmax=203. D. Vmax=24.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA=SB=SC=1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=16. B. Vmax=212. C. Vmax=312. D. Vmax=112.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=4. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=1303. B. Vmax=1283. C. Vmax=1253. D. Vmax=2503.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC=1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=239. B. Vmax=233. C. Vmax=2327. D. Vmax=4327.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD=4a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=8a33. B. Vmax=463a3. C. Vmax=8a3. D. Vmax=46 a3.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB=2. Cạnh bên SA=1và vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=13. B. Vmax=14. C. Vmax=112. D. Vmax=16.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Biết SC=1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=312. B. Vmax=212. C. Vmax=2327. D. Vmax=327.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB=1. Các cạnh bên SA=SB=SC=2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=58. B. Vmax=54. C. Vmax=23. D. Vmax=43.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=y y>0 và vuông góc với mặt đáy ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM=x 0<x<a. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.ABCM, biết x2+y2=a2.
A. Vmax=a333. B. Vmax=a338. C. Vmax=a3324. D. Vmax=3a338.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4, SC=6 và mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=403. B. Vmax=40. C. Vmax=80. D. Vmax=803.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có SA=x 0<x<3, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax=14. B. Vmax=18. C. Vmax=112. D. Vmax=116.
Câu 14. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB=x và các cạnh còn lại đều bằng 23. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x=32. B. x=6. C. x=23. D. x=14.
Câu 15. Trên ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm A, B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c. Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA=OB+OC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC.
A. Vmax=a36. B. Vmax=a38. C. Vmax=a324. D. Vmax=a332.
Câu 16. Cho tứ diện SABC có SA,AB,AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC=a, SB=b, SC=c. Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho.
A. Vmax=abc24.B. Vmax=abc28. C. Vmax=abc212. D. Vmax=abc224.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt đáy ABCD. Trên SB,SD lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho SMSB=m>0, SNSD=n>0. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AMN biết 2m2+3n2=1.
A. Vmax=a36. B. Vmax=a3672. C. ABCD D. Vmax=a348.
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho.
A. Vmax=5639. B. Vmax=8039. C. Vmax=7039. D. Vmax=6439.
Câu 19. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?
A. 4V3. B. V3. C. 2V3. D. 6V3.
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x 0<x<3, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất?
A. x=33. B. x=22. C. x=62. D. x=32.
Câu 21. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC, tính cosα khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
A. cosα=13. B. cosα=33. C. cosα=22. D. cosα=23.
Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a2, SAB^=SCB^=900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất.
A. AB=a102. B. AB=a3. C. AB=2a. D. AB=3a5.
Câu 23. Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM=x. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
A. x=a2. B. x=a22. C. x=a612. D. x=a32.
Câu 24. Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AC=2. Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ABC lấy các điểm M, N khác phía so với mặt phẳng ABC sao cho AM.AN=1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC.
A. Vmin=13. B. Vmin=16. C. Vmin=112. D. Vmin=23.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA=AB=2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AHK.
A. Vmax=26. B. Vmax=36. C. Vmax=33. D. Vmax=23.
Câu 26. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=x, AD=3, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng ABB'A' bằng 300. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.
A. x=3155. B. x=362. C. x=332. D. x=355.
Câu 27. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. Vmax=162. B. Vmax=12. C. Vmax=82. D. Vmax=66.
Câu 28*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c. Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.
A. Smax=110. B. Smax=165. C. Smax=325. D. Smax=485.
Câu 29*. Cho hình chóp S.ABC có SA=1,SB=2,SC=3. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng α đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại M,N,P. Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T=1SM2+1SN2+1SP2.
A. Tmin=27. B. Tmin=37. C. Tmin=187. D. Tmin=6.
Câu 30*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA,N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng α di động qua các điểm M,N và cắt các cạnh SC,SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K,Q. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.MNKQ.
A. Vmax=V2. B. Vmax=V3. C. Vmax=3V4. D. Vmax=2V3.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC→AH⊥SBC.
Ta có
• AH≤AS.
Dấu ''='' xảy ra khi AS⊥SBC .
• SΔSBC=12SB.SC.sinBSC^≤12SB.SC.
Dấu ''='' xảy ra khi SB⊥SC.
Khi đó V=13SΔSBC.AH≤1312SB⋅SCAS=16SA.SB.SC.
Dấu ''='' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Vmax=16SA.SB.SC=a366. Chọn D.
Câu 2. Gọi a,b,c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp=2ab+bc+ca.
Theo giả thiết ta có a2+b2+c2=AC'2=18.
Từ bất đẳng thức a2+b2+c2≥ab+bc+ca, suy ra
Stp=2ab+bc+ca≤2.18=36.
Dấu ''='' xảy ra ⇔a=b=c=6. Chọn D.
Câu 3. Đặt cạnh BC=x>0.
Tam giác vuông ABC, có AC2=16+x2.
Tam giác vuông SAC, có SA=SC2-AC2=20-x2.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.BC=4x.
Thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=43x20-x2.
Áp dụng BĐT Côsi, ta có
x.20-x2≤x2+20-x222=10.
Suy ra VS.ABCD≤43.10=403.
Dấu "=" xảy ra ⇔x=20-x2⇔x=10.
Vậy Vmax=403. Chọn A.
Cách 2. Xét hàm số fx=43x20-x2 trên 0;25.
Câu 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều ⇒ SO⊥ABC.
Đặt AB=x>0. Diện tích tam giác đều SΔABC=x234.
Gọi M là trung điểm
BC ⇒ AM=x32⇒OA=23AM=x33.
Tam giác vuông SOA, có SO=SA2-OA2=1-x23.
Khi đó VS.ABC=13SΔABC.SO=
13.x234.3-x23=112.x23-x2
Xét hàm fx=112.x23-x2 trên 0;3, ta được max0;3fx=f2=16. Chọn A.
Cách 2. Ta có x23-x2=12x2.x2.6-2x2≤
12x2+x2+6-2x233=2
Câu 5. Gọi O=AC∩BD. Vì SA=SB=SC=SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ⇒ SO⊥ABCD.
Đặt AB=x>0.
Tam giác vuông ABC, có
AC=AB2+BC2=x2+16.
Tam giác vuông SOA, có
SO=SA2-AO2=SA2-AC24=128-x22.
Khi đó VS.ABCD=13SABCD.SO=13.4x.128-x22
=13.2x128-x2≤13.x2+128-x2=1283.
Dấu ''='' xảy ra x=128-x2⇔x=8. Suy ra VS.ABCD≤1283. Chọn B.
Câu 6. Đặt OA=OC=x.
Tam giác vuông AOD, có
OD=AD2-OA2=1-x2.
Suy ra BD=21-x2.
Diện tích hình thoi SABCD=OA.BD=2x1-x2.
Tam giác vuông SOC, có
SO=SC2-OC2=1-x2.
Thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SO
=13.2x1-x2.1-x2=23x1-x2.
Xét hàm fx=x1-x2 trên 0;1, ta được
max0;1fx=f13=233.
Suy ra Vmax=4327. Chọn D.
Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có
2x1-x23=22x21-x21-x23
≤232x2+1-x2+1-x233=4327
Câu 7. Do SA=SB=SC=SD=a6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Gọi H=AC∩BD, suy ra SH⊥ABCD.
Đặt AB=x>0. Ta có
AC=AD2+AB2=x2+16a2.
Tam giác vuông SHA, có
SH=SA2-AC24=8a2-x22.
Khi đó VS.ABCD=13SABCD.SH=13AB.AD.SH
=13.x.4a.8a2-x22=a32x8a2-x2
≤a3x2+8a2-x2=8a33 Chọn A.
Câu 8. Đặt AC=x>0.
Suy ra CB=AB2-CA2=4-x2.
Diện tích tam giác SΔABC=12AC.CB=x4-x22.
Khi đó VS.ABC=13SΔABC.SA=16x4-x2
≤16x2+4-x22=13. Chọn A.
Câu 9. Giả sử CA=CB=x>0.
Suy ra SA=SC2-AC2=1-x2.
Diện tích tam giác SΔABC=12CA.CB=12x2.
Khi đó VS.ABC=13SΔABC.SA=16x21-x2.
Xét hàm fx=16x21-x2 trên 0;1, ta được max0;1fx=f23=327. Chọn D.
Cách 2. Ta có x21-x2=12x2.x2.2-2x2
≤12x2+x2+2-2x233=239
Câu 10. Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra IA=IB=IC→I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có SA=SB=SC suy ra I là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC → SI⊥ABC.
Đặt AC=x>0. Suy ra BC=AB2+AC2=x2+1.
Tam giác vuông SBI, có SI=SB2-BI2=15-x22.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=12AB.AC=x2.
Khi đó VS.ABC=13SΔABC.SI=13.x2.15-x22
=112x15-x2≤112.x2+15-x22=58. Chọn A.
Câu 11. Từ x2+y2=a2⇒y=a2-x2.
Diện tích mặt đáy SABCM=BC+AM2.AB=a+x2a.
Thể tích khối chóp VS.ABCM=13SABCM.SA
=13.a+x2.aa2-x2=a6a+xa2-x2.
Xét hàm fx=a+xa2-x2 trên 0;a, ta được max0;afx=fa2=33a24.
Suy ra Vmax=a338. Chọn B.
Câu 12. Gọi H là trung điểm của AD⇒SH⊥AD.
Mà SAD⊥ABCD⇒SH⊥ABCD.
Giả sử AD=x>0.
Suy ra HC=HD2+CD2=x24+16.
Tam giác vuông SHC, có SH=SC2-HC2=20-x24.
Khi đó VS.ABCD=13SABCD.SH=13AB.AD.SH
=13.4.x20-x24=132x80-x2
≤13x2+80-x2=803
Chọn D.
Câu 13. Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1.
Gọi N là trung điểm BC. Trong tam giác SAN, kẻ SH⊥AN. 1
Ta có
● SN là đường cao của tam giác đều SBC→SN=32.
● BC⊥ANBC⊥SN→BC⊥SAN→BC⊥SH. 2
Từ 1và 2, suy ra SH⊥ABC.
Diện tích tam giác đều ABC là SΔABC=34.
Khi đó VS.ABC=13SΔABC.SH
≤13SΔABC.SN=13.34.32=18.
Dấu ''='' xảy ra ↔H≡N. Chọn B.
Câu 14. Hình vẽ.
Cách làm tương tự như bài trên.
Tam giác BCD đều cạnh bằng 23→BN=3.
VABCD lớn nhất H⇔N. Khi đó ANB vuông.
Trong tam giác vuông cân ANB, có
AB=BN2=3.2.
Chọn A.
Câu 15. Từ giả thiết ta có a=b+c.
Do OA,OB,OC vuông góc từng đôi nên
VOABC=16abc=16a.bc
≤16a.b+c22=a324
Dấu ''='' xảy ra ⇔b=c=a2. Chọn C.
Câu 16. Đặt AB=x,AC=y,AS=z. Ta có x2+y2=a2x2+z2=b2y2+z2=c2.
Khi đó V=xyz6→V2=2xy2yz2zx288
≤x2+y2y2+z2z2+x2288=
a2b2c2288→V≤abc224
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z→a=b=c. Chọn D.
Câu 17. Thể tích khối chóp S.ABD là VS.ABD=a36.
Ta có VS.AMNVS.ABD=SMSB.SNSD=mn
→VS.AMN=mn.VS.ABD=mna36.
Mặt khác mn=2.m.3.n6≤2m2+3n226=126.
Dấu ''='' xảy ra ⇔2m=3n2m2+3n2=1⇒m=12;n=16.
Suy ra VS.AMN≤a3672. Chọn B.
Câu 18. Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với a,b>0.
Theo giả thiết ta có 2a2+4ab=32⇔2aa+2b=32
⇔aa+2b=16⇔b=1216a-a
Do b>0→16a-a>0→a<4.
Khi đó thể tích của khối hộp V=a2.1216a-a=-12a3+8a.
Xét hàm fa=-12a3+8a trên 0;4, ta được max0;4fa=f43=6439.
Chọn D.
Câu 19. Gọi h>0 là chiều cao lăng trụ; a>0 là độ dài cạnh đáy.
Theo giả thiết ta có V=Sday.h=a234.h→h=4Va23.
Diện tích toàn phần của lăng trụ:
Stp=S2 day+Sxung quanh=a232+3a.4Va23.
Áp dụng BĐT Côsi, ta có Stoan phan=a232+43Va
=a232+23Va+23Va≥
3a222.23Va.23Va3=362V23
Dấu ''='' xảy ra khi ⇔a232=23Va=23Va⇔a=4V3. Chọn A.
Câu 20. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD⇒OA=OC. 1
Theo bài ra, ta có ΔSBD=ΔCBD ⇒ OS=OC. 2
Từ 1 và 2, ta có OS=OA=OC=12AC⇒ΔSAC vuông tại S⇒AC=x2+1.
Suy ra OA=x2+12 và OB=AB2-OA2=3-x22.
Diện tích hình thoi SABCD=2.OA.OB=x2+13-x22.
Ta có SB=SC=SD=1, suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD→H∈AC.
Trong tam giác vuông SAC, ta có SH=SA.SCSA2+SC2=xx2+1.
Khi đó VS.ABCD=13x2+13-x22.xx2+1
=16x3-x2≤16.x2+3-x22=14
Suy ra VS.ABCD≤14. Dấu ''='' xảy ra ⇔x=3-x2⇔x=62. Chọn C.
Câu 21. Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH⊥SMH∈SM. 1
Tam giác ABC cân suy ra BC⊥AM. Mà SA⊥ABC⇒SA⊥BC.
Suy ra BC⊥SAM⇒AH⊥BC. 2
Từ 1 và 2, suy ra AH⊥SBC nên dA,SBC=AH=3.
Tam giác vuông AMH, có AM=3sinα.
Tam giác vuông SAM, có SA=AM.tanα=3cosα.
Tam giác vuông cân ABC, BC=2AM.
Diện tích tam giác SΔABC=12BC.AM=AM2=
9sin2α=91-cos2α
Khi đó V=13SΔABC.SA=91-cos2α.cosα.
Xét hàm fx=1-cos2x.cosx, ta được fx≤233. Suy ra V≥2732 .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cosα=33. Chọn B.
Cách 2. Đặt AB=AC=x; SA=y. Khi đó VS.ABC=16x2y.
Vì AB,AC,AS đôi một vuông góc nên 19=1d2A,SBC=
1x2+1x2+1y2≥31x4y23
Suy ra x2y≥813→VSABC=16x2y≥2732.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=33→cosα=33.
Câu 22. Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông.
Ta có AB⊥ADSAB^=900→AB⊥SA→AB⊥SAD→AB⊥SD.
Tương tự, ta cũng có BC⊥SD. Từ đó suy ra SD⊥ABDC.
Kẻ DH⊥SCH∈SC→DH⊥SBC.
Khi đó dA,SBC=dD,SBC=DH.
Đặt AB=x>0.
Trong tam giác vuông SDC, có
1DH2=1SD2+1DC2⇔1a22=1SD2+1x2.
Suy ra SD=ax2x2-2a2.
Thể tích khối chóp VS.ABC=12VS.ABCD=16.ax32x2-2a2
=a26.x3x2-2a2
Xét hàm fx=x3x2-2a2 trên a2;+∞,
ta được mina2;+∞fx=fa3=33a2.
Chọn B.
Câu 23. Do tam giác OAB đều cạnh a⇒F là trung điểm OB⇒OF=a2.
Ta có AF⊥OBAF⊥MO⇒AF⊥MOB⇒AF⊥MB.
Mặt khác, MB⊥AE.
Suy ra MB⊥AEF⇒MB⊥EF.
Suy ra ΔOBM∽ΔONF nên
OBOM=ONOF⇒ON=OB.OFOM=a22x.
Ta có VABMN=VABOM+VABON
=13SΔOABOM+ON=a2312x+a22x≥a3612.
Đẳng thức xảy ra khi x=a22x⇔x=a22. Chọn B.
Câu 24. Đặt AM=x, AN=y suy ra AM.AN=x.y=1.
Tam giác vuông ABC, có AB=BC=AC2=2.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=AB22=1.
Ta có VMNBC=VM.ABC+VN.ABC=13SΔABC.AM+AN
=13x+y →Cosi≥13.2xy=23.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1. Chọn D.
Câu 25. Đặt AC=x 0<x<2.
Tam giác vuông ABC, có BC=AB2-AC2=4-x2.
Tam giác SAB cân tại A, có đường cao AH suy ra H là trung điểm của SB nên SHSB=12.
Tam giác vuông SAC, có
SA2=SK.SC⇒SKSC=SA2SC2=44+x2.
Ta có VS.AHKVS.ABC=SHSB.SKSC=12.4x2+4=2x2+4
→ VS.AHK=2x2+4.VS.ABC=
2x2+4.13SΔABC.SA=23.x4-x2x2+4
Xét hàm fx=23.x4-x2x2+4 trên 0;2, ta được max0;2fx=f23=26. Chọn A.
Câu 26. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật suy ra BC⊥ABB'A'.
Khi đó A'B là hình chiếu của A'C trên mặt phẳng ABB'A'.
Suy ra 300=A'C,ABB'A'^=A'C,A'B^=CA'B^.
Đặt BB'=hh>0.
Tam giác vuông A'B'B, có A'B=A'B'2+BB'2=x2+h2.
Tam giác vuông A'BC, có tanCA'B^=BCA'B⇔tan300
=3x2+h2⇔x2+h2=27
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là V=BB'.SABCD=3xh.
Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3xh≤3x2+h22=3.272=812
⇒Vmax=812
Dấu "=" xảy ra ⇔x=h>0x2+h2=27⇒x2=272
⇒x=362 Chọn B.
Câu 27. Giả sử a,b,c là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là a2+b2+c2
Tổng diện tích các mặt là 2ab+bc+ca.
Theo giả thiết ta có 2ab+bc+ca=36a2+b2+c2=6
⇔ab+bc+ca=18a2+b2+c2=36
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V=abc.
Ta có a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca
=72⇒a+b+c=62
Ta có b+c2≥4bc⇔62-a2
≥418-a62-a⇔0≤a≤42
Khi đó V=abc=a18-ab+c=
a18-a62-a=a3-62a2+18a
Xét hàm số fa=a3-62a2+18a với a∈0;42, ta được
max0;42fx=f2=f42=82.
Chọn C.
Nhận xét. Nếu sử dụng V=abc≤a+b+c33=162 thì sai vì dấu ''='' không xảy ra.
Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng 32 và độ dài đường chéo bằng 26. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho. ĐS: Vmax=16.
Câu 28*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a+b+c.
● Hình hộp chữ nhật có: V=abc và Stp=2ab+ac+bc.
● Hình lập phương có: V'=a+b+c3 và S'tp=6a+b+c2.
Suy ra S=S1S2=3.a+b+c2ab+bc+ca.
Ta có a+b+c3=32abc⇔a+b+c3a3
=32bca2⇔ba+ca+13=32ba.ca
Đặt ba=xca=y→x+y+13
=32xy⇔xy=x+y+1332
Khi đó S=3.x+y+12x+y+xy=3.x+y+12x+y+x+y+1332
→t=x+y+1>1S=96.t2t3+32t-32
Ta có x+y+13=32xy≤8x+y2
→t3≤8t-12↔t3-8t2+16t-8≤0.
↔2≤t≤3+5
Xét hàm ft=t2t3+32t-32 trên đoạn 2;3+5, ta được max2;3+5ft=f4=110.
Chọn D.
Câu 29*. Do G là trọng tâm ΔABC→SG→=13SA→+SB→+SC→
→SGSI.SI→=13SASMSM→+SBSNSN→+SCSPSP→
⇔SI→=16SASMSM→+SBSNSN→+SCSPSP→
Do I,M,N,P đồng phẳng nên 16SASM+SBSN+SCSP=1
↔SASM+SBSN+SCSP=6
Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có
1SM2+1SN2+1SP2SA2+SB2+SC2≥
SASM+SBSN+SCSP2
Suy ra T≥36SA2+SB2+SC2=187. Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: S≡O0;0;0, A1;0;0, B0;2;0 và C0;0;3. Suy ra G13;23;1→I16;13;12.
Khi đó mặt phẳng α cắt SA,SB,SC lần lượt tại Ma;0;0,N0;b;0,P0;0;c
→α:xa+yb+zc=1 và T=1a2+1b2+1c2.
Vì I16;13;12∈α→
α:16.1a+13.1b+12.1c=1
Ta có 12=16.1a+13.1b+12.1c2≤
162+132+122.1a2+1b2+1c2→T≥187
Câu 30*. Gọi a=SKSC0≤a≤1.
Vì mặt phẳng α di động đi qua các điểm M,N và cắt các cạnh SC,SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K,Q nên ta có đẳng thức SASM+SCSK=SBSN+SDSQ
↔2+1a=32+SDSQ→SQSD=2a2+a.
Ta có VS.MNKQVS.ABCD=12SMSA.SNSB.SKSC+SMSA.SKSC.SQSD
=124a3-2a+2=2a3-1a+2
Xét hàm fa=2a3-1a+2. trên đoạn 0;1, ta được max0;1fa=f1=13. Chọn B.
