Trắc Nghiệm Cực Trị Thể Tích Có Đáp Án Và Lời Giải

0
272

Trắc nghiệm cực trị thể tích có đáp án và lời giải rất hay. Nội dung tìm GTLN và GTNN của thể tích một khối đa diện. Các bạn xem ở dưới để ôn tập và cũng cố thêm kiến thức.

​​ 

CỰC TRỊ​​ CỦA THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có​​ SA=a,​​ SB=a2,​​ SC=a3. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=a36. ​​​​ B.​​ Vmax=a362.​​ C.​​ Vmax=a363.​​ D.​​ Vmax=a366.

Câu 2.​​ Cho hình hộp chữ nhật​​ ABCD.A'B'C'D'​​ có độ dài đường chéo​​ AC'=18.​​ Gọi​​ S​​ là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất​​ Smax​​ của​​ S.

 A.​​ Smax=363.​​ B.​​ Smax=183.C.​​ Smax=18.D.​​ Smax=36.

Câu 3.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình chữ nhật với​​ AB=4, cạnh bên​​ SA​​ vuông góc với mặt phẳng đáy​​ ABCD​​ và​​ SC=6. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=403.B.​​ Vmax=803.C.​​ Vmax=203.D.​​ Vmax=24.

Câu 4.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác đều và có​​ SA=SB=SC=1. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

A.​​ Vmax=16.B.​​ Vmax=212.C.​​ Vmax=312.D.​​ Vmax=112.

Câu 5.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình chữ nhật,​​ AD=4. Các cạnh bên bằng nhau và bằng​​ 6. Tìm thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.​​ 

 A.​​ Vmax=1303.B.​​ Vmax=1283.C.​​ Vmax=1253.D.​​ Vmax=2503.

Câu 6.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình thoi tâm​​ O, cạnh bằng​​ 1;​​ SO​​ vuông góc với mặt phẳng đáy​​ ABCD​​ và​​ SC=1. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=239.B.​​ Vmax=233.C.​​ Vmax=2327.D.​​ Vmax=4327.

Câu 7.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình bình hành với​​ AD=4a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng​​ a6. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.​​ 

 A.​​ Vmax=8a33.B.​​ Vmax=463a3.C.​​ Vmax=8a3.D.​​ Vmax=46 a3.

Câu 8.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác vuông tại​​ C,  AB=2. Cạnh bên​​ SA=1và vuông góc với mặt phẳng đáy​​ ABC.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=13.B.​​ Vmax=14. C.​​ Vmax=112.D.​​ Vmax=16.

Câu 9.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác vuông cân tại​​ C,​​ cạnh bên​​ SA​​ vuông góc với mặt phẳng đáy​​ ABC.​​ Biết​​ SC=1,​​ tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=312.​​ B.​​ Vmax=212.​​ C.​​ Vmax=2327.​​ D.​​ Vmax=327.​​ 

Câu 10.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác vuông tại​​ A​​ và​​ AB=1.​​ Các cạnh bên​​ SA=SB=SC=2.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=58.B.​​ Vmax=54.C.​​ Vmax=23.D.​​ Vmax=43.

Câu 11.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình vuông cạnh​​ a, cạnh bên​​ SA=y​​ y>0​​ và vuông góc với mặt đáy​​ ABCD. Trên cạnh​​ AD​​ lấy điểm​​ M​​ và đặt​​ AM=x​​ 0<x<a. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp​​ S.ABCM,​​ biết​​ x2+y2=a2.

A.​​ Vmax=a333.​​ B.​​ Vmax=a338.C.​​ Vmax=a3324.D.​​ Vmax=3a338.

Câu 12.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình chữ nhật với​​ AB=4,  SC=6​​ và mặt bên​​ SAD​​ là tam giác cân tại​​ S​​ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

A.​​ Vmax=403.​​ B.​​ Vmax=40.​​ C.​​ Vmax=80.​​ D.​​ Vmax=803.

Câu 13.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có​​ SA=x​​ 0<x<3, tất cả các cạnh còn lại đều bằng​​ 1.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp đã cho.

 A.​​ Vmax=14.B.​​ Vmax=18.C.​​ Vmax=112.D.​​ Vmax=116.

Câu 14.​​ (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)​​ Xét khối tứ diện​​ ABCD​​ có cạnh​​ AB=x​​ và các cạnh còn lại đều bằng​​ 23. Tìm​​ x​​ để thể tích khối tứ diện​​ ABCD​​ đạt giá trị lớn nhất.

 A.​​ x=32.​​ B.​​ x=6.​​ C.​​ x=23.​​ D.​​ x=14.

Câu 15.​​ Trên ba tia​​ Ox,Oy,Oz​​ vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm​​ A,​​ B,C​​ sao cho​​ OA=a,OB=b,OC=c.​​ Giả sử​​ A​​ cố định còn​​ B,C​​ thay đổi nhưng luôn luôn thỏa​​ OA=OB+OC.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối tứ diện​​ OABC.

A.​​ Vmax=a36.B.​​ Vmax=a38.C.​​ Vmax=a324.D.​​ Vmax=a332.

Câu 16.​​ Cho tứ diện​​ SABC​​ có​​ SA,AB,AC​​ đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh​​ BC=a,​​ SB=b,​​ SC=c. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ khối tứ diện đã cho.

A.​​ Vmax=abc24.B.​​ Vmax=abc28.C.​​ Vmax=abc212.D.​​ Vmax=abc224.

Câu 17.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ hình vuông cạnh​​ a,​​ cạnh bên​​ SA=a​​ và vuông góc với mặt đáy​​ ABCD.​​ Trên​​ SB,SD​​ lần lượt lấy hai điểm​​ M,N​​ sao cho​​ SMSB=m>0,​​ SNSD=n>0.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp​​ S.AMN​​ biết​​ 2m2+3n2=1.

A.​​ Vmax=a36.B.​​ Vmax=a3672.C.​​ ABCDD.​​ Vmax=a348.

Câu 18.​​ Cho hình hộp chữ nhật​​ ABCD.A'B'C'D'​​ có đáy​​ ABCD​​ là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng​​ 32.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối hộp đã cho.

A.​​ Vmax=5639.B.​​ Vmax=8039.C.​​ Vmax=7039.D.​​ Vmax=6439.

Câu 19.​​ Cho hình lăng trụ đứng có thể tích​​ V​​ và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?

A.​​ 4V3.B.​​ V3.C.​​ 2V3.D.​​ 6V3.

Câu 20.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có​​ SA=x  0<x<3, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng​​ 1. Với giá trị nào của​​ x​​ thì thể tích khối chóp​​ S.ABCD​​ lớn nhất?

 A.​​ x=33.B.​​ x=22.C.​​ x=62.D.​​ x=32.

Câu 21. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017)​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác vuông cân tại​​ A,​​ SA​​ vuông góc với đáy, khoảng cách từ​​ A​​ đến mặt phẳng​​ SBC​​ bằng​​ 3. Gọi​​ α​​ là góc giữa hai mặt phẳng​​ SBC​​ và​​ ABC, tính​​ cosα​​ khi thể tích khối chóp​​ S.ABC​​ nhỏ nhất.​​ 

 A.​​ cosα=13.​​ B.​​ cosα=33.​​ C.​​ cosα=22.​​ D.​​ cosα=23.

Câu 22.​​ Cho khối chóp​​ S.ABC​​ có đáy là tam giác vuông cân tại​​ B.​​ Khoảng cách từ​​ A​​ đến mặt phẳng​​ SBC​​ bằng​​ a2,​​ SAB^=SCB^=900.​​ Xác định độ dài cạnh​​ AB​​ để khối chóp​​ S.ABC​​ có thể tích nhỏ nhất.

 A.​​ AB=a102.​​ B.​​ AB=a3.​​ C.​​ AB=2a.​​ D.​​ AB=3a5.

Câu 23.​​ Cho tam giác​​ OAB​​ đều cạnh​​ a. Trên đường thẳng​​ d​​ qua​​ O​​ và vuông góc với mặt phẳng​​ OAB​​ lấy điểm​​ M​​ sao cho​​ OM=x. Gọi​​ E,F​​ lần lượt là hình chiếu vuông góc của​​ A​​ trên​​ MB​​ và​​ OB. Gọi​​ N​​ là giao điểm của​​ EF​​ và​​ d. Tìm​​ x​​ để thể tích tứ diện​​ ABMN​​ có giá trị nhỏ nhất.

 A.​​ x=a2.B.​​ x=a22.C.​​ x=a612.D.​​ x=a32.

Câu 24.​​ Cho tam giác​​ ABC​​ vuông cân tại​​ B,​​ AC=2. Trên đường thẳng qua​​ A​​ vuông góc với mặt phẳng​​ ABC​​ lấy các điểm​​ M,  N​​ khác phía so với mặt phẳng​​ ABC​​ sao cho​​ AM.AN=1. Tính thể tích nhỏ nhất​​ Vmin​​ của khối tứ diện​​ MNBC.​​ 

A.​​ Vmin=13.B.​​ Vmin=16.C.​​ Vmin=112.D.​​ Vmin=23.

Câu 25.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có đáy​​ ABC​​ là tam giác vuông tại​​ C,​​ SA=AB=2.​​ Cạnh bên​​ SA​​ vuông góc với mặt phẳng đáy​​ ABC. Gọi​​ H,  K​​ lần lượt là hình chiếu vuông góc của​​ A​​ lên​​ SB​​ và​​ SC. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp​​ S.AHK.​​ 

 A.​​ Vmax=26.B.​​ Vmax=36.C.​​ Vmax=33.D.​​ Vmax=23.

Câu 26.​​ Cho hình hộp chữ nhật​​ ABCD.A'B'C'D'​​ có​​ AB=x,  AD=3,​​ góc giữa đường thẳng​​ A'C​​ và mặt phẳng​​ ABB'A'​​ bằng​​ 300.​​ Tìm​​ x​​ để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.​​ 

 A.​​ x=3155.​​ B.​​ x=362.​​ C.​​ x=332.​​ D.​​ x=355.

Câu 27.​​ Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng​​ 36​​ và độ dài đường chéo bằng​​ 6.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối hộp chữ nhật đã cho.

 A.​​ Vmax=162.​​ B.​​ Vmax=12.​​ C.​​ Vmax=82.​​ D.​​ Vmax=66.​​ 

Câu 28*.​​ Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là​​ a,b,c. Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi​​ S​​ là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất​​ Smax​​ của​​ S.

 A.​​ Smax=110. ​​​​ B.​​ Smax=165.C.​​ Smax=325.D.​​ Smax=485.

Câu 29*.​​ Cho hình chóp​​ S.ABC​​ có​​ SA=1,SB=2,SC=3. Gọi​​ G​​ là trọng tâm tam giác​​ ABC. Mặt phẳng​​ α​​ đi qua trung điểm​​ I​​ của​​ SG​​ cắt các cạnh​​ SA,SB,SC​​ lần lượt tại​​ M,N,P. Tính giá trị nhỏ nhất​​ Tmin​​ của biểu thức​​ T=1SM2+1SN2+1SP2.

A.​​ Tmin=27.​​ B.​​ Tmin=37.​​ C.​​ Tmin=187.​​ D.​​ Tmin=6.​​ 

Câu 30*.​​ Cho hình chóp​​ S.ABCD​​ có đáy​​ ABCD​​ là hình bình hành, thể tích là​​ V.​​ Gọi​​ M​​ là trung điểm của cạnh​​ SA,N​​ là điểm nằm trên cạnh​​ SB​​ sao cho​​ SN=2NB;​​ mặt phẳng​​ α​​ di động qua các điểm​​ M,N​​ và cắt các cạnh​​ SC,SD​​ lần lượt tại hai điểm phân biệt​​ K,Q. Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối chóp​​ S.MNKQ.

 A.​​ Vmax=V2.B.​​ Vmax=V3.C.​​ Vmax=3V4.D.​​ Vmax=2V3.

 

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

 

Câu 1.​​ Gọi​​ H​​ là hình chiếu của​​ A​​ trên mặt phẳng​​ SBCAHSBC.

Ta có​​ 

​​ AHAS.

 Dấu​​ ''=''​​ xảy ra khi​​ ASSBC​​ .

​​ SΔSBC=12SB.SC.sinBSC^12SB.SC.

 Dấu​​ ''=''​​ xảy ra khi​​ SBSC.

Khi đó​​ V=13SΔSBC.AH1312SBSCAS=16SA.SB.SC.

Dấu​​ ''='' ​​​​ xảy ra khi​​ SA, SB, SC​​ đôi một vuông góc với nhau.

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là​​ Vmax=16SA.SB.SC=a366.​​ Chọn D.

Câu 2.​​ Gọi​​ a,b,c​​ là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Khi đó​​ Stp=2ab+bc+ca.

Theo giả thiết ta có​​ a2+b2+c2=AC'2=18.

Từ bất đẳng thức​​ a2+b2+c2ab+bc+ca, suy ra

Stp=2ab+bc+ca2.18=36.

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ a=b=c=6.​​ Chọn D.​​ 

Câu 3.​​ Đặt cạnh​​ BC=x>0.

Tam giác vuông​​ ABC,​​ có​​ AC2=16+x2.

Tam giác vuông​​ SAC,​​ có​​ SA=SC2-AC2=20-x2.

Diện tích hình chữ nhật​​ SABCD=AB.BC=4x.

Thể tích khối chóp​​ VS.ABCD=13SABCD.SA=43x20-x2.

Áp dụng BĐT Côsi, ta có​​ 

x.20-x2x2+20-x222=10.

Suy ra​​ VS.ABCD43.10=403.

Dấu​​ "="​​ xảy ra​​ x=20-x2x=10.​​ 

Vậy​​ Vmax=403.​​ Chọn A.

Cách 2.​​ Xét hàm số​​ fx=43x20-x2​​ trên​​ 0;25.

Câu 4.​​ Gọi​​ O​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều​​ ABC.​​ Vì​​ S.ABC​​ là hình chóp đều​​   SOABC.

Đặt​​ AB=x>0.​​ Diện tích tam giác đều​​ SΔABC=x234.

Gọi​​ M​​ là trung điểm

​​ BC    AM=x32OA=23AM=x33.​​ 

Tam giác vuông​​ SOA,​​ có​​ SO=SA2-OA2=1-x23.

Khi đó​​ VS.ABC=13SΔABC.SO=

13.x234.3-x23=112.x23-x2

Xét hàm​​ fx=112.x23-x2​​ trên​​ 0;3, ta được​​ max0;3fx=f2=16.​​ Chọn A.

Cách 2.​​ Ta có​​ x23-x2=12x2.x2.6-2x2

12x2+x2+6-2x233=2

Câu 5.​​ Gọi​​ O=ACBD.​​ Vì​​ SA=SB=SC=SD​​ suy ra hình chiếu của​​ S​​ trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy​​   SOABCD.

Đặt​​ AB=x>0.

Tam giác vuông​​ ABC,​​ có​​ 

AC=AB2+BC2=x2+16.

Tam giác vuông​​ SOA,​​ có​​ 

SO=SA2-AO2=SA2-AC24=128-x22.

Khi đó​​ VS.ABCD=13SABCD.SO=13.4x.128-x22

=13.2x128-x213.x2+128-x2=1283.

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ x=128-x2x=8.​​ Suy ra​​ VS.ABCD1283.​​ Chọn B.

Câu 6.​​ Đặt​​ OA=OC=x.

Tam giác vuông​​ AOD,​​ có​​ 

OD=AD2-OA2=1-x2.

Suy ra​​  BD=21-x2.

Diện tích hình thoi​​  SABCD=OA.BD=2x1-x2.

Tam giác vuông​​ SOC,​​ có​​ 

SO=SC2-OC2=1-x2.

Thể tích khối chóp​​ VS.ABCD=13SABCD.SO

=13.2x1-x2.1-x2=23x1-x2.

Xét hàm​​ fx=x1-x2​​ trên​​ 0;1, ta được​​ 

max0;1fx=f13=233.

Suy ra​​ Vmax=4327.​​ Chọn D.

Cách 2.​​ Áp dụng BDT Côsi, ta có

2x1-x23=22x21-x21-x23

232x2+1-x2+1-x233=4327

Câu 7.​​ Do​​ SA=SB=SC=SD=a6​​ nên hình chiếu vuông góc​​ của​​ S​​ trên mặt phẳng​​ ABCD​​ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác​​ ABCD​​ là hình chữ nhật. Gọi​​ H=ACBD, suy ra​​ SHABCD.

Đặt​​ AB=x>0.​​ Ta có​​ 

AC=AD2+AB2=x2+16a2.

Tam giác vuông​​ SHA,​​ có​​ 

SH=SA2-AC24=8a2-x22.

 

Khi đó​​ VS.ABCD=13SABCD.SH=13AB.AD.SH

=13.x.4a.8a2-x22=a32x8a2-x2

a3x2+8a2-x2=8a33​​ Chọn A.

Câu 8.​​ Đặt​​ AC=x>0.

Suy ra​​ CB=AB2-CA2=4-x2.​​ 

Diện tích tam giác​​ SΔABC=12AC.CB=x4-x22.

Khi đó​​ VS.ABC=13SΔABC.SA=16x4-x2

16x2+4-x22=13.​​ Chọn A.

Câu 9.​​ Giả sử​​ CA=CB=x>0.

Suy ra​​ SA=SC2-AC2=1-x2.

Diện tích tam giác​​ SΔABC=12CA.CB=12x2.

Khi đó​​ VS.ABC=13SΔABC.SA=16x21-x2.

Xét hàm​​ fx=16x21-x2​​ trên​​ 0;1, ta được​​ max0;1fx=f23=327.​​ Chọn D.​​ 

Cách 2.​​ Ta có​​ x21-x2=12x2.x2.2-2x2

12x2+x2+2-2x233=239

 

Câu 10.​​ Gọi​​ I​​ là trung điểm của​​ BC.​​ Suy ra​​ IA=IB=ICI​​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác​​ ABC.​​ Theo giả thiết, ta có​​ SA=SB=SC​​ suy ra​​ I​​ là hình chiếu của​​ S​​ trên mặt phẳng​​ ABC    SIABC.

Đặt​​ AC=x>0.​​ Suy ra​​ BC=AB2+AC2=x2+1.

Tam giác vuông​​ SBI,​​ có​​ SI=SB2-BI2=15-x22.

Diện tích tam giác vuông​​ SΔABC=12AB.AC=x2.

Khi đó​​ VS.ABC=13SΔABC.SI=13.x2.15-x22

=112x15-x2112.x2+15-x22=58.​​ Chọn A.

Câu 11.​​ Từ​​ x2+y2=a2y=a2-x2.

Diện tích mặt đáy​​ SABCM=BC+AM2.AB=a+x2a.

Thể tích khối chóp​​ VS.ABCM=13SABCM.SA

​​ =13.a+x2.aa2-x2=a6a+xa2-x2.

Xét hàm​​ fx=a+xa2-x2​​ trên​​ 0;a, ta được​​ max0;afx=fa2=33a24.

Suy ra​​ Vmax=a338.​​ Chọn B.

Câu 12.​​ Gọi​​ H​​ là trung điểm của​​ ADSHAD.

Mà​​ SADABCDSHABCD.​​ 

Giả sử​​ AD=x>0.

Suy ra​​ HC=HD2+CD2=x24+16.

Tam giác vuông​​ SHC,​​ có​​ SH=SC2-HC2=20-x24.

Khi đó​​ VS.ABCD=13SABCD.SH=13AB.AD.SH​​ 

=13.4.x20-x24=132x80-x2​​ 

13x2+80-x2=803

Chọn D.

Câu 13.​​ Ta có tam giác​​ ABC​​ và​​ SBC​​ là những tam giác đều cạnh bằng​​ 1.

Gọi​​ N​​ là trung điểm​​ BC. Trong tam giác​​ SAN, kẻ​​ SHAN.​​ 1

Ta có

 ●SN​​ là đường cao của tam giác đều​​ SBCSN=32.

 ●BCANBCSNBCSANBCSH.​​ 2​​ 

Từ​​ 1và​​ 2, suy ra​​ SHABC.

Diện tích tam giác đều​​ ABC​​ là​​ SΔABC=34.

Khi đó​​ VS.ABC=13SΔABC.SH

13SΔABC.SN=13.34.32=18.

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ HN.​​ Chọn B.

Câu 14.​​ Hình vẽ.

Cách làm tương tự như bài trên.

Tam giác​​ BCD​​ đều cạnh bằng​​ 23BN=3.​​ 

VABCD​​ lớn nhất​​ HN. Khi đó​​ ANB​​ vuông.

Trong tam giác vuông cân​​ ANB, có​​ 

AB=BN2=3.2.

Chọn A.​​ 

Câu 15.​​ Từ giả thiết ta có​​ a=b+c.

 

Do​​ OA,OB,OC​​ vuông góc từng đôi nên

​​ VOABC=16abc=16a.bc

16a.b+c22=a324

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ b=c=a2.​​ Chọn C.

Câu 16.​​ Đặt​​ AB=x,AC=y,AS=z.​​ Ta có​​ x2+y2=a2x2+z2=b2y2+z2=c2.

Khi đó​​ V=xyz6V2=2xy2yz2zx288

x2+y2y2+z2z2+x2288=

a2b2c2288Vabc224

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra khi​​ x=y=za=b=c.​​ Chọn D.

Câu 17.​​ Thể tích khối chóp​​ S.ABD​​ là​​ VS.ABD=a36.

Ta có​​ VS.AMNVS.ABD=SMSB.SNSD=mn

VS.AMN=mn.VS.ABD=mna36.

Mặt khác​​ mn=2.m.3.n62m2+3n226=126.

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ 2m=3n2m2+3n2=1m=12;n=16.

​​ Suy ra​​ VS.AMNa3672.​​ Chọn B.

Câu 18.​​ Đặt​​ a​​ là độ dài cạnh của hình vuông đáy,​​ b​​ là chiều cao của khối hộp với​​ a,b>0.

Theo giả thiết ta có​​ 2a2+4ab=322aa+2b=32

aa+2b=16b=1216a-a

Do​​ b>016a-a>0a<4.​​ 

Khi đó thể tích của khối hộp​​ V=a2.1216a-a=-12a3+8a.

Xét hàm​​ fa=-12a3+8a​​ trên​​ 0;4, ta được​​ max0;4fa=f43=6439.

Chọn D.

Câu 19.​​ Gọi​​ h>0​​ là chiều cao lăng trụ;​​ a>0​​ là độ dài cạnh đáy.

Theo giả thiết ta có​​ V=Sday.h=a234.hh=4Va23.

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

​​ Stp=S2  day+Sxung  quanh=a232+3a.4Va23.

Áp dụng BĐT Côsi, ta có​​ Stoan  phan=a232+43Va

=a232+23Va+23Va

3a222.23Va.23Va3=362V23

Dấu​​ ''=''​​ xảy ra khi​​ a232=23Va=23Vaa=4V3.​​ Chọn A.

Câu 20.​​ Gọi​​ O​​ là tâm của hình thoi​​ ABCDOA=OC.​​ 1​​ 

Theo bài ra, ta có​​ ΔSBD=ΔCBD    OS=OC.​​ 2​​ 

Từ​​ 1​​ và​​ 2, ta có​​ OS=OA=OC=12ACΔSAC​​ vuông tại​​ SAC=x2+1.

Suy ra​​ OA=x2+12​​ và​​ OB=AB2-OA2=3-x22.

 

Diện tích hình thoi​​ SABCD=2.OA.OB=x2+13-x22.

Ta có​​ SB=SC=SD=1, suy ra hình chiếu vuông góc​​ H​​ của đỉnh​​ S​​ trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác​​ BCDHAC.

Trong tam giác vuông​​ SAC, ta có​​ SH=SA.SCSA2+SC2=xx2+1.

Khi đó​​ VS.ABCD=13x2+13-x22.xx2+1

=16x3-x216.x2+3-x22=14

Suy ra​​ VS.ABCD14.​​ Dấu​​ ''=''​​ xảy ra​​ x=3-x2x=62.​​ Chọn C.

Câu 21.​​ Gọi​​ M​​ là trung điểm của​​ BC, kẻ​​ AHSMHSM.1​​ 

Tam giác​​ ABC​​ cân suy ra​​ BCAM.​​ Mà​​ SAABCSABC.

Suy ra​​ BCSAMAHBC.2​​ 

Từ​​ 1​​ và​​ 2, suy ra​​ AHSBC​​ nên​​ dA,SBC=AH=3.

Tam giác vuông​​ AMH,​​ có​​ AM=3sinα.

Tam giác vuông​​ SAM,​​ có​​ SA=AM.tanα=3cosα.

Tam giác vuông cân​​ ABC,​​ BC=2AM.

Diện tích tam giác​​ SΔABC=12BC.AM=AM2=

9sin2α=91-cos2α

Khi đó​​ V=13SΔABC.SA=91-cos2α.cosα.

Xét hàm​​ fx=1-cos2x.cosx, ta được​​ fx233.​​ Suy ra​​  V2732 .

Dấu​​ "="​​ xảy ra khi và chỉ khi​​ cosα=33.​​ Chọn B.

Cách 2.​​ Đặt​​ AB=AC=x;  SA=y. Khi đó​​ VS.ABC=16x2y.

Vì​​ AB,AC,AS​​ đôi một vuông góc nên​​ 19=1d2A,SBC=

1x2+1x2+1y231x4y23

Suy ra​​ x2y813VSABC=16x2y2732.

Dấu​​ "="​​ xảy ra khi và chỉ khi​​ x=y=33cosα=33.

Câu 22.​​ Gọi​​ D​​ là điểm sao cho​​ ABCD​​ là hình vuông.

Ta có​​ ABADSAB^=900ABSAABSADABSD.

Tương tự, ta cũng có​​ BCSD. Từ đó suy ra​​ SDABDC.

Kẻ​​ DHSCHSCDHSBC.

Khi đó​​ dA,SBC=dD,SBC=DH.

Đặt​​ AB=x>0.

Trong tam giác vuông​​ SDC,​​ có​​ 

1DH2=1SD2+1DC21a22=1SD2+1x2.

Suy ra​​ SD=ax2x2-2a2.

Thể tích khối chóp​​ VS.ABC=12VS.ABCD=16.ax32x2-2a2

=a26.x3x2-2a2

Xét hàm​​ fx=x3x2-2a2​​ trên​​ a2;+,​​ 

ta được​​ mina2;+fx=fa3=33a2.

Chọn B.

Câu 23.​​ Do tam giác​​ OAB​​ đều cạnh​​ aF​​ là trung điểm​​ OBOF=a2.

Ta có​​ AFOBAFMOAFMOBAFMB.

Mặt khác,​​ MBAE.

Suy ra​​ MBAEFMBEF.​​ 

Suy ra​​ ΔOBMΔONF​​ nên​​ 

OBOM=ONOFON=OB.OFOM=a22x.

Ta có​​ VABMN=VABOM+VABON

=13SΔOABOM+ON=a2312x+a22xa3612.

Đẳng thức xảy ra khi​​ x=a22xx=a22.​​ Chọn B.

Câu 24.​​ Đặt​​ AM=x,  AN=y​​ suy ra​​ AM.AN=x.y=1.

Tam giác vuông​​ ABC,​​ có​​ AB=BC=AC2=2.​​ 

Diện tích tam giác vuông​​ SΔABC=AB22=1.

Ta có​​ VMNBC=VM.ABC+VN.ABC=13SΔABC.AM+AN

=13x+y  Cosi13.2xy=23.

Dấu​​ "="​​ xảy ra khi và chỉ khi​​ x=y=1.​​ Chọn D.

Câu 25.​​ Đặt​​ AC=x   0<x<2.

Tam giác vuông​​ ABC,​​ có​​ BC=AB2-AC2=4-x2.

Tam giác​​ SAB​​ cân tại​​ A, có đường cao​​ AH​​ suy ra​​ H​​ là trung điểm của​​ SB​​ nên​​  SHSB=12.

Tam giác vuông​​ SAC,​​ có​​ 

SA2=SK.SCSKSC=SA2SC2=44+x2.

Ta có​​ VS.AHKVS.ABC=SHSB.SKSC=12.4x2+4=2x2+4

  VS.AHK=2x2+4.VS.ABC=

2x2+4.13SΔABC.SA=23.x4-x2x2+4

Xét hàm​​ fx=23.x4-x2x2+4​​ trên​​ 0;2,​​ ta được​​ max0;2fx=f23=26.​​ Chọn A.

Câu 26.​​ Vì​​ ABCD.A'B'C'D'​​ là hình hộp chữ nhật suy ra​​ BCABB'A'.

Khi đó​​ A'B​​ là hình chiếu của​​ A'C​​ trên mặt phẳng​​ ABB'A'.

Suy ra​​ 300=A'C,ABB'A'^=A'C,A'B^=CA'B^.

Đặt​​ BB'=hh>0.

 

Tam giác vuông​​ A'B'B,​​ có​​ A'B=A'B'2+BB'2=x2+h2.

Tam giác vuông​​ A'BC,​​ có​​ tanCA'B^=BCA'Btan300

=3x2+h2x2+h2=27

Thể tích khối hộp chữ nhật​​ ABCD.A'B'C'D'​​ là​​ V=BB'.SABCD=3xh.

Áp dụng BĐT Côsi, ta có​​ 3xh3x2+h22=3.272=812

Vmax=812

Dấu​​ "="​​ xảy ra​​ x=h>0x2+h2=27x2=272

x=362​​ Chọn B.

Câu 27.​​ Giả sử​​ a,b,c​​ là các kích thước của hình hộp chữ nhật.

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là​​ a2+b2+c2​​ 

Tổng diện tích các mặt là​​ 2ab+bc+ca.

Theo giả thiết ta có ​​ 2ab+bc+ca=36a2+b2+c2=6

ab+bc+ca=18a2+b2+c2=36

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của​​ V=abc.

​​ Ta có​​ a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca​​ 

=72a+b+c=62

​​ Ta có​​ b+c24bc62-a2​​ 

418-a62-a0a42

Khi đó​​ V=abc=a18-ab+c=​​ 

a18-a62-a=a3-62a2+18a

Xét hàm số​​ fa=a3-62a2+18a​​ với​​ a0;42,​​ ta được​​ 

max0;42fx=f2=f42=82.

Chọn C.

Nhận xét. Nếu sử dụng​​ V=abca+b+c33=162​​ thì sai vì dấu​​ ''=''​​ không xảy ra.​​ 

Câu hỏi tương tự.​​ Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng​​ 32​​ và độ dài đường chéo bằng​​ 26.​​ Tính thể tích lớn nhất​​ Vmax​​ của khối hộp chữ nhật đã cho. ĐS:​​ Vmax=16.

Câu 28*.​​ Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng​​ a+b+c.

● Hình hộp chữ nhật có:​​ V=abc​​ và​​ Stp=2ab+ac+bc.

● Hình lập phương có:​​ V'=a+b+c3​​ và​​ S'tp=6a+b+c2.

Suy ra​​ S=S1S2=3.a+b+c2ab+bc+ca.

Ta có​​ a+b+c3=32abca+b+c3a3

=32bca2ba+ca+13=32ba.ca

Đặt​​ ba=xca=yx+y+13

=32xyxy=x+y+1332

Khi đó​​ S=3.x+y+12x+y+xy=3.x+y+12x+y+x+y+1332

t=x+y+1>1S=96.t2t3+32t-32

Ta có​​ x+y+13=32xy8x+y2

t38t-12t3-8t2+16t-80.

2t3+5

Xét hàm​​ ft=t2t3+32t-32​​ trên đoạn​​ 2;3+5, ta được​​ max2;3+5ft=f4=110.

Chọn D.

Câu 29*.​​ Do​​ G​​ là trọng tâm​​ ΔABCSG=13SA+SB+SC

SGSI.SI=13SASMSM+SBSNSN+SCSPSP

SI=16SASMSM+SBSNSN+SCSPSP

Do​​ I,M,N,P​​ đồng phẳng nên​​ 16SASM+SBSN+SCSP=1

SASM+SBSN+SCSP=6

Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có​​ 

1SM2+1SN2+1SP2SA2+SB2+SC2

SASM+SBSN+SCSP2

Suy ra​​ T36SA2+SB2+SC2=187.​​ Chọn C.

Cách trắc nghiệm.​​ Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt​​ SA,​​ SB,​​ SC​​ đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau:​​ SO0;0;0,​​ A1;0;0,​​ B0;2;0​​ và​​ C0;0;3. Suy ra​​ G13;23;1I16;13;12.

Khi đó mặt phẳng​​ α​​ cắt​​ SA,SB,SC​​ lần lượt tại​​ Ma;0;0,N0;b;0,P0;0;c

α:xa+yb+zc=1​​ và​​ T=1a2+1b2+1c2.

Vì​​ I16;13;12α

α:16.1a+13.1b+12.1c=1

Ta có​​ 12=16.1a+13.1b+12.1c2

162+132+122.1a2+1b2+1c2T187

Câu 30*.​​ Gọi​​ a=SKSC0a1.​​ 

Vì mặt phẳng​​ α​​ di động đi qua các điểm​​ M,N​​ và cắt các cạnh​​ SC,SD​​ lần lượt tại hai điểm phân biệt​​ K,Q​​ nên ta có đẳng thức​​ SASM+SCSK=SBSN+SDSQ

2+1a=32+SDSQSQSD=2a2+a.

 

Ta có​​ VS.MNKQVS.ABCD=12SMSA.SNSB.SKSC+SMSA.SKSC.SQSD

=124a3-2a+2=2a3-1a+2

Xét hàm​​ fa=2a3-1a+2.​​ trên đoạn​​ 0;1, ta được​​ max0;1fa=f1=13.​​ Chọn B.

Series Navigation<< Bài Tập Trắc Nghiệm Tỉ Số Thể Tích Có Đáp Án Và Lời Giải

BÌNH LUẬN

Vui lòng nhập bình luận của bạn
Vui lòng nhập tên của bạn ở đây