Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 11: Đáp án D

Phương pháp:

Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Cách giải:

Đáp án sai là đáp án D.

Câu 12: Đáp án A

Phương pháp:

Đặt ${3^x} = t\left( {t > 0} \right)$

Cách giải:

Đặt ${3^x} = t\left( {t > 0} \right)$, khi đó phương trình trở thành ${t^2} – 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\\{3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {0;1} \right\}$

Câu 13: Đáp án A

Phương pháp:

+) Chứng minh $AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {V_{B.SAC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{\Delta SAC}}$

+) $AD//BC \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$

+) Dựng $AE \bot SC$, tính AE.

+) Tính $\cos \,C$ của tam giác SBC, từ đó tính SC, tính ${S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{2}AE.SC$

Cách giải:

Ta có: $A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (Định lí Pytago đảo)

$ \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow CD \bot AC\,\,\,\left( 1 \right)$

Mà $CD \bot SC\,\,\left( 2 \right)$ ($\Delta SCD$vuông tại C)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$

Ta có: $AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$

Dựng $AE \bot SC$ tại E, $AH \bot BE$ tại H ta có $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} \Rightarrow \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} \Rightarrow AE = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$

$BE = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Xét tam giác vuông BCE: $\sin C = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{2a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{a} \Rightarrow \cos \,C = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$

Áp dụng định lí cosin ta có:

$\cos \,C = \frac{{B{C^2} + S{C^2} – S{B^2}}}{{2BC.SC}} = \frac{{B{C^2}}}{{2.BC.SC}} = \frac{{BC}}{{2SC}}$

$ \Rightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{4} = \frac{{2a}}{{2SC}} \Leftrightarrow SC = \frac{{4a}}{{\sqrt {10} }}$

$ \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{2}AE.SC = \frac{1}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{4a}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5}$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{15}} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 5 }}{{15}} = \frac{{2{a^3}}}{{3\sqrt 5 }}$

Câu 14: Đáp án C

Phương pháp:

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} $

Cách giải:

Mặt cầu trên có bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2} – 4} = \sqrt {10} $

Câu 15: Đáp án D

Phương pháp:

+) Tính thể tích của cái vá.

+) Tính thể tích của cái thùng hình trụ.

Cách giải:

Thể tích của các vá là $V = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.3^3} = 18\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích của cái thùng hình trụ là $V’ = \pi {6^2}.10 = 360\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Vậy số lần đổ nước là $\frac{{V’}}{V} = \frac{{360\pi }}{{18\pi }} = 20$ (lần)

Câu 16: Đáp án

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số g(x) và tìm các điểm cực trị, các khoảng đơn điệu của hàm số.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp $\left[ {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right]’ = f’\left( u \right).u’\left( x \right)$

Cách giải:

$g’\left( x \right) = – 2x.f’\left( {2 – {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f’\left( {2 – {x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2 – {x^2} = – 1\\2 – {x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.$

Do đó đáp án A sai.

Với $x \in \left( { – \infty ;2} \right)$ ta có $2 – {x^2} \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \Rightarrow f’\left( {2 – {x^2}} \right) < 0$, tuy nhiên $g’\left( x \right) = – 2x.f’\left( {2 – {x^2}} \right)$, chưa kết luận được dấu của $g’\left( x \right)$ trên $\left( { – \infty ;2} \right) \Rightarrow $ B sai.

Với $x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow 2 – {x^2} \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \Rightarrow f’\left( {2 – {x^2}} \right) < 0$, tuy nhiên $g’\left( x \right) = – 2x.f’\left( {2 – {x^2}} \right)$, chưa kết luận được dấu của $g’\left( x \right)$ trên $\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow $ C sai.

Với $x \in \left( { – 1;0} \right) \Rightarrow 2 – {x^2} \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow f’\left( {2 – {x^2}} \right) < 0$

$x \in \left( { – 1;0} \right) \Rightarrow x < 0 \Rightarrow g’\left( x \right) = – 2xf’\left( {2 – {x^2}} \right) < 0 \Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – 1;0} \right) \Rightarrow $ D đúng

Câu 17: Đáp án D

Phương pháp:

Để hàm số không có cực trị thì phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Cách giải:

Ta có $y’ = {x^2} – 2mx + m + 2$

Để hàm số không có cực trị thì phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$ \Leftrightarrow \Delta ‘ = {m^2} – m – 2 \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { – 1;2} \right]$

Câu 18: Đáp án

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên R $ \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

Xét hàm số ở đáp án D ta có $y’ = 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên R.

Câu 19: Đáp án

Phương pháp:

${S_{tp}} = 2\pi R\left( {h + R} \right)$ trong đó R; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Cách giải:

Hình trụ có chiều cao $h = 3a$ và bán kính đáy $R = \frac{{3a}}{2}$

$ \Rightarrow {S_{tp}} = 2\pi R\left( {h + R} \right) = 2\pi .\frac{{3a}}{2}\left( {3a + \frac{{3a}}{2}} \right) = \frac{{27\pi {a^2}}}{2}$

Câu 20: Đáp án B

Phương pháp:

$\sqrt A $ xác định $ \Leftrightarrow A \ge 0$

${x^n}$ với $n \notin Z$ xác định $ \Leftrightarrow x > 0$

Cách giải:

Hàm số xác định

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1; + \infty } \right)$