TRẮC NGHIỆM HÌNH NÓN - KHỐI NÓN CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc α=600. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
A. 4πa2. B. 3πa2. C. 2πa2. D. πa2.
Câu 2. Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R=a2, góc ở đỉnh bằng 600. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A. 4πa2. B. 3πa2. C. 2πa2. D. πa2.
Câu 3. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a và AC=a3. Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:
A. l=a. B. l=a2. C. l=a3. D. l=2a.
Câu 4. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:
A. 1+2πa22 và 2πa312. B. 2πa22 và 2πa34.
C. 1+2πa22 và 2πa34. D. 2πa22 và 2πa312.
Câu 5. Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120°. Diện tích toàn phần của hình nón là:
A.π23+3. B. 2πa23+3. C. 6πa2. D.πa23+23.
Câu 6. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R=a. Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH=3a2. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:
A. l=a. B. l=a2. C. l=a3. D. l=2a.
Câu 7. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 600, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB bằng R2.
Đường cao h của hình nón bằng:
A. h=R64. B. h=R32. C. h=a3. D. h=a2.
Câu 8. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng SAB bằng 300. Đường cao h của hình nón bằng:
A. h=a64. B. h=a32. C. h=a3. D. h=a2.
Câu 9. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A,B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO^=300, SAB^=600. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng:
A. l=a. B. l=a2. C. l=a3. D. l=2a.
Câu 10. Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60°. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90°. Diện tích của thiết diện là:
A.R272. B. R232. C. 3R22. D. R262.
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là a2. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:
A. 4πa33. B. 4πa39. C. 4πa327. D. 2πa33.
Câu 12. Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO=h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:
A.h22a. B. a22h. C. a2h. D. h2a.
Câu 13. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O', chiều cao R3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O' và đáy là hình tròn O;R. Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:
A. 2. B. 2. C. 3. D. 3.
Câu 14. Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:
A.27500. B. 81500. C.27125. D. 81125.
Câu 15. Cho hình nón có bán kính đáy là 5a, độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:
A. 4000πa381. B. 4000πa327. C. 40πa39. D. 400πa327.
Câu 16. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng a33 và SAO^=300,SAB^=600. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
A. a2 B. a3 C. 2a3 D. a5
Câu 17. Cho hình nón có chiều cao h=20, bán kính đáy r=25. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó.
A. S=500 B. S=400 C. S=300 D. S=406
Câu 18. Cắt hình nón N đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a2. Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.
A. 4a223 B. 4a229 C. 2a223 D. 2a229
Câu 19. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng
A. 6. B. 19. C. 26. D. 23.
Câu 20. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A. 32πa22. B. 3+3πa22. C. 1+3πa22. D. 2+2πa22.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Theo giả thiết, ta có
SA=l=2a và SAO^=600.
Suy ra
R=OA=SA.cos600=a.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng:
S=πRl+πR2=3πa2 (đvdt). Chọn B.
Câu 2. Theo giả thiết, ta có
OA=a2 và OSA^=300.
Suy ra độ dài đường sinh:
l=SA=OAsin300=2a2.
Vậy diện tích xung quanh bằng:
Sxq=πRl=4πa2 (đvdt). Chọn A.
Câu 3. Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B, tâm đường tròn đáy là A, bán kính đáy là AC=a3 và chiều cao hình nón là AB=a.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
l=BC=AB2+AC2=2a.
Chọn D.
Câu 4. Gọi S,O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo bài ra ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên
AB=SB2=a2, SO=SB22=a22.
Suy ra h=SO=a22, l=SA=a và
SB2=2R⇒R=SB22=2a2.
Diện tích toàn phần của hình nón: Stp=πRl+πR2=1+2πa22 (đvdt).
Thể tích khối nón là: V=13πR2h=2πa312 (đvtt). Chọn A.
Câu 5. Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có SA=2a và ASO^=60°.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
OA=SA.sin60°=a3.
Vậy diện tích toàn phần:
Stp=πRl+πR2=π.OA.SA+πOA2=πa23+23 (đvdt). Chọn B.
Câu 6.
Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS' vuông tại A và có đường cao AH nên SA2=SH.SS'⇒SA=a3.
Chọn C.
Câu 7. Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE⊥AB và OE=R32.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH⊥SE.
Ta có AB⊥OEAB⊥SO⇒AB⊥SOE⇒AB⊥OH.
Từ đó suy ra OH⊥SAB nên dO,SAB=OH=R2.
Trong tam giác vuông SOE, ta có
1SO2=1OH2-1OE2=83R2⇒SO=R64.
Chọn A.
Câu 8. Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra SE⊥ABOE⊥AB và SE=12AB.
Ta có SΔSAB=12AB.SE=4a2⇔12AB.12AB=4a2
⇒AB=4a⇒SE=2a.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH⊥SE.
Ta có AB⊥OEAB⊥SO⇒AB⊥SOE⇒AB⊥OH.
Từ đó suy ra OH⊥SAB nên
300=SO,SAB^=SO,SH^=OSH^=OSE^.
Trong tam giác vuông SOE, ta có SO=SE.cosOSE^=a3. Chọn C.
Câu 9. Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI⊥AB,SI⊥AB và OI=a.
Trong tam giác vuông SOA, ta có OA=SA.cosSAO^=SA32.
Trong tam giác vuông SIA, ta có IA=SA.cosSAB^=SA2.
Trong tam giác vuông OIA, ta có
OA2=OI2+IA2⇔34SA2=a2+14SA2⇒SA=a2.
Chọn B.
Câu 10. Vì góc ở đỉnh là 60° nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.
Suy ra đường cao của hình nón là SI=R3.
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB=R2.
Gọi M là trung điểm của AB thì
IM⊥ABSM⊥AB và IM=R22.
Trong tam giác vuông SIM, ta có
SM=SI2+IM2=R142.
Vậy SΔSAB=12AB.SM=R272 (đvdt).
Chọn A.
Câu 11. Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH⊥SE tại H.
Chứng minh được OH⊥SBC nên suy ra OH=dO,SBC=a2.
Trong tam giác đều ABC, ta có
OE=13AE=13.2a32=a33 và OA=23AE=2a33.
Trong tam giác vuông SOE, ta có
1OH2=1OE2+1SO2⇒1SO2=1OH2-1OE2=1a2⇒SO=a.
Vậy thể tích khối nón
V=13πOA2.SO=13π2a332.a=4πa39 (đvtt).
Chọn B.
Câu 12. Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc ASO^.
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra
OA=a22.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
tanASO^=OASO=a22h. Chọn C.
Câu 13. Diện tích xung quanh của hình trụ:
SxqT=2πR.h=2πR.R3=23πR2 (đvdt).
Kẻ đường sinh O'M của hình nón, suy ra
l=O'M=OO'2+OM2=3R2+R2=2R.
Diện tích xung quanh của hình nón:
SxqN=πRl=πR.2R=2πR2 (đvdt).
Vậy SxqTSxqN=3. Chọn C.
Câu 14. Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH=9cm, OS=OA=5cm.
Suy ra OH=4cm và AH=OA2-OH2=3cm.
Thể tích khối nón Vn=13πAH2.SH=27π (đvtt).
Thể tích khối cầu Vc=43π.SO3=500π3 (đvtt).
Suy ra VnVc=81500. Chọn B.
Câu 15. Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính r=IO=IE (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có ISIO=BSBO=135.
Lại có IS+IO=SO=SB2-OB2=12.
Từ đó suy ra IS=263,IO=103.
Ta có ΔSEI~ΔSOB nên
IEIS=BOBS=513⇒IE=513IS=103.
Thể tích khối cầu:
V=43πr3=43π10a33=4000πa381 (đvtt).
Chọn A.
Câu 16. Chọn A
Gọi K là trung điểm của AB ta có OK⊥AB vì tam giác OAB cân tại O
Mà SO⊥AB nên AB⊥SOK ⇒SOK⊥SAB mà ⇒SOK∩SAB=SK nên từ O dựng OH⊥SK thì OH⊥SAB⇒OH=dO,SAB
Xét tam giác SAO ta có: sinSAO^=SOSA⇒SO=SA2
Xét tam giác SAB ta có: sinSAB^=SKSA⇒SK=SA32
Xét tam giác SOK ta có: 1OH2=1OK2+1OS2=1SK2-SO2+1SO2
⇒1OH2=1SA24+13SA24-SA24=4SA2+2SA2
⇒6SA2=3a2⇒SA=2a2⇒SA=a2
Câu 17. Chọn A
Giả sử hình nón đỉnh S, tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là ΔSAB (hình vẽ).
Ta có SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB⇒OI⊥AB.
Gọi H là hình chiếu của O lên SI⇒OH⊥SI.
Ta chứng minh được OH⊥SAB⇒OH=12.
Xét tam giác vuông SOI có 1OH2=1OS2+1OI2⇒
1OI2=1OH2-1OS2=1122-1202=1225.
⇒OI2=225⇒OI=15.
Xét tam giác vuông SOI có SI=OS2+OI2 =202+152 =25.
Xét tam giác vuông OIA có IA=OA2-OI2
=252-152 =20⇒AB=40.
Ta có S=SΔABC =12AB.SI =12.40.25 =500.
Câu 18. Chọn A
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra r=SO=a2
Ta có góc giữa mặt phẳng SBC tạo với đáy bằng góc SIO^=600
Trong tam giác SIO vuông tại O có SI=SOsinSIO^=263a
và OI=SI.cosSIO^=63a
Mà BC=2r2-OI2=433a
Diện tích tam giác SBC là S=12SI.BC=4a223
Câu 19. Chọn C
Ta có: h=OI=4,R=IA=IB=3,AB=2.
Gọi M là trung điểm AB
⇒MI⊥AB⇒AB⊥SMI⇒AB⊥SM.
Lại có: SB=OI2+IB2=42+32=5;
SM=SB2-MB2=52-12=26.
Vậy: SΔSAB=12.SM.AB=12.26.2=26.
Câu 20.
Xét tam giác AHB vuông tại H. Ta có AH=AB2-HB2=a3
Xét tam giác AHBvuông tại H, HI⊥AB tại I ta có HI=AH.HBAB=a3.a2a=a32
Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2).
Trong đó:
(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là S1=π.HI.AH=π.a32.a3=3πa22
(N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là S2=π.HI.BH=π.a32.a=3πa22
⇒S=S1+S2=3πa22+3πa22=3+3πa22.
Chọn B.
