Đề Thi Toán 12 Học kì 1 Trường THPT Lương Thế Vinh Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Câu 11: Đáp án B

Phương pháp:

Khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất $ \Rightarrow $ Khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu.

Cách giải:

Giả sử độ dài các đoạn AB, AD, AA’ lần lượt là a, b, c.

$ \Rightarrow $ Thể tích khối hộp chữ nhật: $V = abc$

Khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất $ \Rightarrow $ Khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu. Khi đó: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = AC{‘^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}$

Ta có:

${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Rightarrow abc \le \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)}^3}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)}^3}} = \frac{{8{R^3}}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{8\sqrt 3 {R^3}}}{9} \Rightarrow V \le \frac{{8\sqrt 3 {R^3}}}{9}$

Thể tích lớn nhất có thể của khối hộp chữ nhật là $\frac{{8{R^3}\sqrt 3 }}{9}$, đạt được khi và chỉ khi $a = b = c = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}$

Câu 12: Đáp án B

Phương pháp:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có phương trình: $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Cách giải:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ cắt trục tung tại điểm

$y’ = 3{x^2} – 3 \Rightarrow y’\left( 0 \right) = – 3$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ tại $A\left( {0;2} \right)$ là:

$y = f’\left( 0 \right)\left( {x – 0} \right) + 2 \Leftrightarrow y = – 3\left( {x – 0} \right) + 2 \Leftrightarrow y = – 3x + 2$

Câu 13: Đáp án

Phương pháp:

Đặt ${2^x} = t,\,\,t \in \left( {2;8} \right)$. Khảo sát hàm số $y = f\left( t \right) = {t^2} – 8t + 3$ với $t \in \left( {2;8} \right)$, từ đó đưa ra kết luận.

Cách giải:

Ta có: ${4^x} – {2^{x + 3}} + 3 = m\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt ${2^x} = t,\,\,t \in \left( {2;8} \right)$. Phương trình (1) trở thành ${t^2} – 8t + 3 = m\,\,\,\left( 2 \right)$, với $t \in \left( {2;8} \right)$

Nhận xét: Ứng với mỗi giá trị t tìm được thuộc khoảng $\left( {2;8} \right)$ ta tìm được đúng một giá trị x thuộc khoảng $\left( {1;3} \right)$, nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt trong khoảng $\left( {1;3} \right)$ thì phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt trong khoảng $\left( {2;8} \right)$.

Xét hàm số $y = f\left( t \right) = {t^2} – 8t + 3$ với $t \in \left( {2;8} \right)$

$y’ = f’\left( t \right) = 2t – 8,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow t = 4$

Bảng biến thiên:

x	2	4	8
y’	–	0 +
y	-9	-13	3

Để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left( {2;8} \right)$ thì $m \in \left( { – 13;9} \right)$

Kết luận: $ – 13 < m < – 9$

Câu 14: Đáp án C

Phương pháp:

Cô lập m.

Cách giải:

${x^3} – 3{x^2} – m = 0 \Leftrightarrow m = {x^3} – 3{x^2}$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$ tại 2 điểm phân biệt.

Xét $y = {x^3} – 3{x^2} \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 6x;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

x	$ – \infty $	0	2
y’	+	0 –	0 +
y	$ – \infty $	0	-4	$ + \infty $

Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$ tại 2 điểm phân biệt thì $m = 0$ hoặc $m = – 4$

Kết luận: $m \in \left\{ { – 4;0} \right\}$

Câu 15: Đáp án D

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = a \Rightarrow y = a$là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = – \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f\left( x \right) = + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f\left( x \right) = – \infty $ thì $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: $D = \left( { – 3;3} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$

Ta có: $y = \frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{{{x^2} – 6x + 8}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = – \infty ,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = + \infty \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 TCĐ $x = 2$

Đồ thị hàm số không có TCN.

Câu 16: Đáp án C

Phương pháp:

Điểm $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\end{array} \right.$

Cách giải:

$y = {x^4} – 2m{x^2} + m \Rightarrow y = 4{x^3} – 4mx,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$

Để hàm số có 3 cực trị thì $m > 0$. Khi đó: đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

$A\left( {0;m} \right),\,\,B\left( { – \sqrt m ; – {m^2} + m} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; – {m^2} + m} \right)$

Ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 + \left( { – \sqrt m } \right) + \sqrt m = 0\\m + \left( { – {m^2} + m} \right) + \left( {{m^2} + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2{m^2} + 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = \frac{3}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy $m = \frac{3}{2}$

Câu 17: Đáp án D

Cách giải:

$y = {x^4} – 2017{x^2} + 2018 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 4043x,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\frac{{2017}}{2}} \end{array} \right.$

Hàm số đạt cực đại tại

Câu 18: Đáp án B

Cách giải:

$f’\left( x \right) = {x^2}{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x + 3} \right) \Rightarrow $ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại 2 điểm là $x = 1,\,\,x = – 3$

Đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ được dựng dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung, qua trục tung. Do đó, hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ đạt cực trị tại các điểm: $x = \pm 1,\,\,x = 0$.

Câu 19: Đáp án C

Phương pháp:

${S_{xq}} = 2\pi Rh;\,\,\,{S_{tp}} = 2\pi R\left( {h + R} \right)$

Cách giải:

Phần diện tích toàn phần lớn hơn diện tích xung quanh chính là diện tích của 2 đáy:

Câu 20: Đáp án

Phương pháp:

Cho hàm số $y = {x^n}$

Cách giải:

$y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 3}}$, do –3 là số nguyên âm nên ĐKXĐ: ${x^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 1$

Vậy, TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$