Đề Thi Toán 10 Học kì 1 Trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội Có Lời Giải Chi Tiết Và Đáp Án

Câu 11: Đáp án C

Phương pháp

Ta có: $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ là trọng tâm của $\Delta ABC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right.$

Cách giải

Ta có: $C \in Ox \Rightarrow C\left( {{x_C};0} \right)$

Trọng tâm G của tam giác $\Delta ABC$ nằm trên trục $Oy \Rightarrow {x_G} = 0$

$ \Rightarrow \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 0 \Rightarrow \frac{{2 – 4 + {x_C}}}{3} = 0 \Rightarrow {x_C} = 2$

$ \Rightarrow C\left( {2;0} \right)$

Câu 12: Đáp án A

Phương pháp

Dùng công thức tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Cách giải

Ta có: $\overrightarrow b – \overrightarrow c = \left( {3 + 1; – 5 + 3} \right) = \left( {4; – 2} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow a \left( {\overrightarrow b – \overrightarrow c } \right) = \left( {2; – 1} \right)\left( {4; – 2} \right) = 2.4 + \left( { – 1} \right).\left( { – 2} \right) = 10$

Câu 13: Đáp án D

Phương pháp

Dùng tính chất trọng tâm của tam giác

Cách giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác $\Delta ABC$

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 1 \Leftrightarrow MG = \frac{1}{3}$

Vậy M thuộc đường tròn tâm G bán kính $\frac{1}{3}$

Câu 14: Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng công thức : ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Cách giải

$A = \frac{{\tan \alpha – 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} – 3\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha – 3{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}$

$ = {\sin ^2}\alpha – 3{\cos ^2}\alpha = 1 – {\cos ^2}\alpha – 3{\cos ^2}\alpha = 1 – 4{\cos ^2}\alpha = 1 – 4.\frac{2}{{16}} = \frac{1}{2}$

Câu 15: Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto

Cách giải

Áp dụng định lý Pitago ta có

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 $

$\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} } \right)\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} $

$ = MA.AC.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) + AD.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)$

$ = a.a\sqrt 3 .\cos \left( {180^\circ – \angle MAC} \right) + a.a\sqrt 3 .\cos \angle CAD$

$ = {a^2}\sqrt 3 .\left( { – \cos \angle MAC} \right) + {a^2}\sqrt 3 \cos \angle CAD$

$ = a.a\sqrt 3 .\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}} \right) + a.a\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \left( {1 – \sqrt 2 } \right){a^2}$

Câu 16: Đáp án B

Phương pháp

Áp dụng công thức trung tuyến và công thức diện tích tam giác.

Cách giải

Ta có $M{B^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} – \frac{{A{C^2}}}{4} \Rightarrow 33 = \frac{{25 + B{C^2}}}{2} – \frac{{16}}{4} \Rightarrow BC = 7$

Diện tích tam giác ABC là

$S = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} = \sqrt {8\left( {8 – 5} \right)\left( {8 – 4} \right)\left( {8 – 7} \right)} = 4\sqrt 6 $