Đề Thi Toán 10 Học kì 1 Trường THCS & THPT M.V.Lômônôxốp Hà Nội Có Lời Giải Chi Tiết Và Đáp Án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án B

Phương pháp:

Cho hàm số $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right):$

+) Nếu $a > 0 \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên tập xác định.

+) Nếu $a < 0 \Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Cách giải:

Hàm số $y = \left( {2 – 3m} \right)x + m + 1$ nghịch biến trên tập xác định của nó $ \Leftrightarrow 2 – 3m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$

Câu 2: Đáp án C

Phương pháp:

Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right):$

+) Nếu $a > 0 \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right).$

+) Nếu $a < 0 \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right).$

Cách giải:

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 5.$

Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;2} \right),$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Câu 3: Đáp án D

Phương pháp:

$A \cap B$ là tập gồm những phần tử thuộc cả $A$ và $B$

Cách giải:

Ta có: $x – 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 3.$

$ \Rightarrow A = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x – 2 \ge 1} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ge 3} \right\} = \left[ {3; + \infty } \right)$

$B = \left( { – 6;10} \right]$

$ \Rightarrow A \cap B = \left[ {3;10} \right]$.

Câu 4: Đáp án D

Phương pháp:

Liệt kê các phần tử của A.

Cách giải:

Ta có $x \le 5,{\rm{ }}x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$

$ \Rightarrow A = \left\{ {x + 1/x \in \mathbb{N},x \le 5} \right\} = \left\{ {x + 1/x \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}} \right\} = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$

Câu 5: Đáp án D

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Gọi số đồng hồ nam, đồng hồ nữ cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất lần lượt $x,{\rm{ }}y$ (chiếc) $\left( {x,y \in {N^*};x,y < 50} \right).$

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được tổng cộng 50 chiếc đồng hồ gồm cả đồng hồ nam và đồng hồ nữ $ \Rightarrow x + y = 50$

Ngày thứ 2 cửa hàng bán được số đồng hồ nam là: $x + 40\% .x = 1,4x$ (chiếc)

Ngày thứ 2 cửa hàng bán được số đồng hồ nữ là: $y + 20\% .y = 1,2y$ (chiếc)

Tổng số đồng hồ bán được ngày thứ hai là 67 chiếc $ \Rightarrow 1,4x + 1,2y = 67$

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\1,4x + 1,2y = 67\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\y = 15{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy trong ngày thứ nhất cửa hàng bán được 35 chiếc đồng hồ nam, 15 chiếc đồng hồ nữ.

Câu 6: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức định lý cosin: ${c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos \angle C$

Cách giải:

Sử dụng công thức định lý cosin ta có:

${c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos \angle C = {7^2} + {5^2} – 2.7.5.\cos 60^\circ = 39$

$ \Rightarrow c = \sqrt {39} $

Câu 7: Đáp án D

Phương pháp:

Dùng công thức góc giữa hai véc tơ: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2};{\rm{ }}\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} $

Cách giải:

Véc tơ $\overrightarrow b = \left( {3;y} \right)$ tạo với véc tơ $\overrightarrow a = \left( {1; – 2} \right)$ một góc $45^\circ $

$ \Rightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3 – 2y}}{{\sqrt 5 .\sqrt {9 + {y^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{2}.\sqrt {9 + {y^2}} = 3 – 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 – 2y \ge 0\\\frac{5}{2}\left( {9 + {y^2}} \right) = {\left( {3 – 2y} \right)^2}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\45 + 5{y^2} = 18 – 24y + 8{y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\3{y^2} – 24y – 27 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y = – 1\\y = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow y = – 1.$

Câu 8: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tam giác đều để tìm góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {BI} $ và $\overrightarrow {BC} $ từ đó sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Cách giải:

Tam giác $ABC$ đều, I là trung điểm của AC

$ \Rightarrow $ BI vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác góc B;

$\Delta ABC$ đều cạnh bằng 3 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ABC = 60^\circ \\BI = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right..$

$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \angle CBI = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ $

$ \Rightarrow \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BI.BC.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.3.\cos 30^\circ = \frac{{27}}{4}$

Câu 9: Đáp án C

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ là parabol có đỉnh $I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Thay tọa độ các điểm vào hàm số để có được hệ phương trình, giải để tìm $a,b,c.$

Cách giải:

Parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,a \ne 0$ biết $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {2;3} \right)$ và có đỉnh $I\left( {1;2} \right).$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ – b}}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow y = {x^2} – 2x + 3$

Câu 10: Đáp án D

Phương pháp:

Biến đổi hệ phương trình để tính $x,y$ theo $m$ từ đó tìm $m$ để $x,y$ nhỏ nhất.

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m – 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} = 2{m^2} + 2m – 3{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = 2{m^2} + 2m – 3{\rm{ }}\left( * \right)$

Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2m – 1} \right)^2} – 2xy = 2{m^2} + 2m – 3 \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 1 – 2xy = 2{m^2} + 2m – 3$

$ \Leftrightarrow 2xy = 2{m^2} – 6m + 4 \Leftrightarrow xy = {m^2} – 3m + 2 = \left( {{m^2} – 2.\frac{3}{2}m + \frac{9}{4}} \right) – \frac{1}{4} = {\left( {m – \frac{3}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \ge – \frac{1}{4}{\rm{ }}\forall m.$

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow m – \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$

Câu 11: Đáp án A

Phương pháp:

Phủ định của một mệnh đề A, là một mệnh đề, kí hiệu là $\overline A .$ Hai mệnh đề $A$ và $\overline A $ có những khẳng định trái ngược nhau.

Nếu A đúng thì $\overline A $ sai.

Nếu A sai thì $\overline A $ đúng.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\exists n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ chia hết cho 5” là “$\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ không chia hết cho 5”.

Câu 12: Đáp án A

Phương pháp:

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Cách giải:

Gọi điểm $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {1 – x; – 2 – y} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { – 3 – x;5 – y} \right)$

$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} = \left( {2 – 2x; – 4 – 2y} \right);3\overrightarrow {MB} = \left( { – 9 – 3x;15 – 3y} \right)$

$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MB} = \left( {2 – 2x + 9 + 3x; – 4 – 2y – 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;y – 19} \right)$

$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA} – 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y – 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { – 11;19} \right).$

Câu 13: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc 3 điểm, các tính chất vecto để tính $\overrightarrow {AM} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)$

$ = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $

Câu 14: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến: ${m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \frac{{{c^2}}}{4}$

Cách giải:

${m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{7^2} + {5^2}}}{2} – \frac{{{6^2}}}{4} = 28 \Rightarrow {m_c} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 $

Câu 15: Đáp án B

Phương pháp:

Trục tung có là đường thẳng $x = 0$

Cách giải:

Tọa độ giao điểm của Parabol $y = – {x^2} + 2x + 3$ với trục tung là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}y = – {x^2} + 2x + 3\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;3} \right)$

Câu 16: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sin bù, phụ chéo:

$\sin \left( {180^\circ – \alpha } \right) = \sin \alpha $ $\cos \left( {180^\circ – \alpha } \right) = – \cos \alpha $

$\sin \left( {90^\circ – \alpha } \right) = \cos \alpha $ $\cos \left( {90^\circ – \alpha } \right) = \sin \alpha $

Cách giải:

$\sin \left( {180^\circ – \alpha } \right) = \sin \alpha $

Vậy đẳng thức A sai.

Câu 17: Đáp án C

Phương pháp

Giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế và tính tổng các nghiệm.

Cách giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 3x – 4 \ge 0\\3x + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {57} }}{6}\\x \le \frac{{3 – \sqrt {57} }}{6}\end{array} \right.\\x \ge – \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {57} }}{6}\\ – \frac{5}{3} \le x \le \frac{{3 – \sqrt {57} }}{6}\end{array} \right..$

$\sqrt {3{x^2} – 3x – 4} = \sqrt {3x + 5} \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x – 4 = 3x + 5 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.$

Kết hợp với ĐKXĐ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.$

Vậy tổng các nghiệm là $3 – 1 = 2$

Câu 18: Đáp án D

Phương pháp:

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \frac{a}{{a’}} \ne \frac{b}{{b’}}$

Cách giải:

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x – my = 3 – 5m\\2x – 4y = 7 + 2m\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{2} \ne \frac{{ – m}}{{ – 4}} \Leftrightarrow 2m \ne 4 \Leftrightarrow m \ne 2.$

Câu 19: Đáp án C

Phương pháp:

Chuyển vế đổi dấu giải phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải:

$x + 2 = 3x – 4 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$

Câu 20: Đáp án A

Phương pháp:

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P{\rm{ }}\left( {{S^2} – 4P \ge 0} \right)$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$

Cách giải:

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x.y = – 3\end{array} \right..$ Ta có: ${2^2} – 4.\left( { – 3} \right) = 16 > 0$

Khi đó $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình ${X^2} – 2X – 3 = 0$